Resumo: Neste trabalho, os principais objetos de estudos são curvas algébrica com muitos pontos Fq-racionais. Estamos interessados nas curvas que atingem o limite superior de Sziklai. Nosso resultado principal completa a classificação das curvas extremais em relação ao limite superior de Sziklai; mais precisamente, provamos que se uma curva plana não-singular X de grau q - 1 definida sobre Fq (q >= 5) sem componentes Fq-lineares atinge o limite superior de Sziklai (d-1)q+1 = (q - 1)^2 para o número de pontos Fq-racionais, então X é projetivamente equivalente sobre Fq à curva X_(alpha, beta, gamma) : alpha X^(q - 1) + beta Y^(q - 1) + gamma Z^(q - 1) = 0 para alguns alpha, beta, gamma in F*q tais que alpha + beta + gamma = 0. Além disso, como o limite de Sziklai é igual ao limite de Stöhr-Voloch para curvas planas de grau q - 1, este resultado classifica as curvas planas Fq-Frobenius clássicas não-singulares extremais de grau q - 1 Ver menos

Abstract: In this work, the main objects to study are algebraic curves with many Fq-rational points. We are interested in curves attaining the Sziklai upper bound. Our main result completes the classification of curves that are extremal with respect to the Sziklai bound; more precisely, we prove that if a plane curve X of degree q - 1 defined over Fq (q >= 5) without Fq-linear components attains the Sziklai upper bound (d-1)q+1 = (q - 1)^2 for the number of its Fq-rational points, then X is projectively equivalent over Fq to the curve X_(alpha, beta, gamma) : alpha X^(q - 1) + beta Y^(q - 1) + gamma Z^(q - 1) = 0 for some alpha, beta, gamma in F*q such that alpha + beta + gamma = 0. Also, since the Sziklai bound is equal to the Stöhr-Voloch bound for plane curves of degree q - 1, this result classifies the Fq-Frobenius extremal classical nonsingular plane curves of degree q - 1 Ver menos