Resumo: O modelo de Keller-Segel é um sistema de equações diferenciais parciais que descreve a quimiotaxia, movimento de organismos em resposta a gradientes químicos, crucial em muitos processos biológicos. Este trabalho estende o modelo clássico incorporando difusão anômala, especificamente superdifusão, através do uso do Laplaciano fracionário. Essa modificação captura efeitos difusivos não locais observados em experimentos, especialmente em ambientes com alvos esparsos. A primeira parte desta tese analisa um sistema de Keller-Segel fracionário duplamente parabólico, com Laplacianos fracionários modelando tanto a difusão celular quanto a química, usando expoentes diferentes. A boa colocação local de soluções brandas é estabelecida, e, sob certas condições, a boa colocação global é demonstrada. O estudo também explora o comportamento assintótico de das soluções. A segunda parte estende o modelo de Keller-Segel, incluindo processos adicionais, como escoamento oceânico e reações biológicas, enfatizando o papel da quimiotaxia na sustentação de reações no contexto da difusão anômala da densidade celular. O modelo é particularmente motivado pela desova por dispersão em organismos aquáticos. Este estudo foi realizado durante o estágio de pesquisa na Duke University, sob a supervisão do Prof. Dr. Kiselev Ver menos

Abstract: The Keller-Segel model is a system of partial differential equations that describes chemotaxis, the movement of organisms in response to chemical gradients, which is crucial in many biological processes. This work extends the classical model by incorporating anomalous diffusion, specifically superdiffusion, through the use of the fractional Laplacian. This modification captures nonlocal diffusive effects observed in experimental settings, particularly in environments with sparse targets. The first part of this thesis analyzes a doubly parabolic fractional Keller-Segel system, with fractional Laplacians modeling both cellular and chemical diffusion using different exponents. Local well-posedness is established, and global well-posedness is shown under certain conditions. The study also explores the asymptotic behavior of solutions. The second part extends the Keller-Segel model by including additional processes such as fluid flow and biological reactions, emphasizing the role of chemotaxis in sustaining reactions within the context of anomalous diffusion of cell density. The model is particularly motivated by broadcast spawning in aquatic organisms. This study was carried out during the research internship conducted at Duke University, under the supervision of Prof. Dr. Kiselev Ver menos