Entropy in piecewise smooth dynamics and symbolic dynamics

Pedro Griguol de Mattos

Entropy in piecewise smooth dynamics and symbolic dynamics

Pedro Griguol de Mattos

Material

TESE

Idioma

Inglês

Número de chamada

T/UNICAMP M436e

Outros títulos

[Entropia em dinâmica suave por partes e dinâmica simbólica]

Publicação

Campinas, SP : [s.n.], 2024.

Descrição física

1 recurso online (126 p.) : il., digital, arquivo PDF.

Nota geral

Orientador: José Régis Azevedo Varão Filho.

Nota de dissertação ou tese

Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Resumo Resumo: Neste trabalho estudamos os conceitos de entropia topológica e entropia de medida e os aplicamos à teoria de sistemas dinâmicos oriundos de campos vetoriais suaves por partes e de deslocamentos simbólicos estendidos. Os deslocamentos simbólicos estendidos, chamados "zip shifts", são uma... Ver mais Resumo: Neste trabalho estudamos os conceitos de entropia topológica e entropia de medida e os aplicamos à teoria de sistemas dinâmicos oriundos de campos vetoriais suaves por partes e de deslocamentos simbólicos estendidos. Os deslocamentos simbólicos estendidos, chamados "zip shifts", são uma variação dos deslocamentos de Bernoulli bilaterais que possibilitam codificar dinâmicas não invertíveis, como a transformação do padeiro 2 para 1. Neste trabalho, exibimos uma desintegração da medida no espaço do deslocamento estendido e a usamos para calcular a entropia de dobra do deslocamento. Além disso, calculamos a entropia de medida do deslocamento e a relacionamos com a entropia de dobra. No contexto de campos vetoriais suaves por partes em variedades Riemannianas, consideramos o conjunto de todas as órbitas possíveis do sistema, estabelecidas pela convenção de Filippov. Nesse "espaço de órbitas" definimos um fluxo contínuo induzido pela dinâmica original no "espaço base" dos campos vetoriais suaves por partes. Definimos também uma distância no espaço de órbitas a partir da distância Riemanniana da variedade base e mostramos que o espaço métrico resultante, sob algumas hipóteses, herda propriedades topológicas da variedade base: ele é separável, completo e não tem pontos isolados. Mostramos então que, se a dinâmica no espaço de órbitas é transitiva, então a dinâmica no espaço base também é, e a recíproca vale para uma classe específica de campos vetoriais suaves por partes cujos pontos de tangência são suficientemente conectados entre si. Nos restringimos então ao contexto de variedades 2-dimensionais e estudamos algumas propriedades clássicas de caoticidade adaptadas ao caso de campos vetoriais suaves por partes. Sob certas hipóteses, mostramos que sistemas transitivos são caóticos no sentido de existir um conjunto denso de órbitas periódicas e ter dependência sensível a condições iniciais. Finalmente, comentamos sobre como definir entropia topológica para campos vetoriais suaves por partes usando o espaço de órbitas, e obtemos que a entropia topológica desses sistemas $2$-dimensionais transitivos é estritamente positiva. Isso reforça o caráter caótico dessas dinâmicas Ver menos

Abstract: In this work we study the concepts of topological entropy and measure entropy and apply them to the theory of dynamical systems originated by piecewise smooth vector fields and by extended symbolic dynamics. Extended symbolic shifts, called "zip shifts", are a variation of bilateral... Ver mais Abstract: In this work we study the concepts of topological entropy and measure entropy and apply them to the theory of dynamical systems originated by piecewise smooth vector fields and by extended symbolic dynamics. Extended symbolic shifts, called "zip shifts", are a variation of bilateral Bernoulli shifts that make it possible to encode non-invertible dynamics, like the 2-to-1 baker's transformation. In this work, we exibit a disintegration of the measure on the extended shift space and use it to calculate the folding entropy of the shift. Besides that, we calculate the measure entropy of the shift and relate it to the folding entropy. In the context of piecewise smooth vector fields on Riemannian manifolds, we consider the set of all possible orbits of the system, established by Filippov's convention. On this "orbit space" we define a continuous flow induced by the original dynamics on the "base space" of the piecewise smooth vector field. We also define a distance on the orbit space from the Riemannian distance on the base manifold and show that the resulting metric space, under certain hypotheses, inherits the topological properties of the base manifold: it is separable, complete and has no isolated points. We then show that, if the dynamics on the orbit space is transitive, then the dynamics on the base space is also transitive, and the converse is valid for a specific class of piecewise smooth vector fields whose tangency points are sufficiently connected among them. We then restrict ourselves to the context of 2-dimensional manifolds and study some classic properties of chaoticity adapted to the case of piecewise smooth vector fields. Under certain hypotheses, we show that transitive systems are chaotic in the sense that there exists a dense set of periodic orbits and they have sentive dependence on initial conditions. Finally, we comment on how to define topological entropy for piecewise smooth vector fields using the orbit space, and obtain that the topological entropy of these transitive $2$-dimensional systems is strictly positive. This reinforces the chaotic character of these dynamics Ver menos

Direito de acesso

Aberto

Assuntos

Sistemas dinâmicos

Teoria ergódica

Entropia

Dinâmica simbólica

Campos vetoriais suaves por partes

Autoria

Mattos, Pedro Griguol de, 1995-

Varão Filho, José Régis Azevedo, 1983- Orientador

Buzzi, Claudio Aguinaldo Avaliador