Resumo: Em campos vetoriais analíticos planares, uma singularidade monodrômica pode ser distinguida entre um foco ou um centro por meio dos coeficientes de Lyapunov, que são dados em termos dos coeficientes da série de potências do mapa de primeiro retorno definido em torno da singularidade. Nesta tese, estamos interessados em um problema análogo para singularidades tangenciais monodrômicas de campos vetoriais analíticos por partes Z = (Z +, Z ), explorando os coeficientes de Lyapunov para singularidades tangenciais monodrômicas em sistemas de Filippov e também explorando problemas relacionados aos coeficientes de Lyapunov, como os problemas de isocronicidade e ciclicidade. Primeiro, demonstramos que o mapa de primeiro retorno, definido em uma vizinhança de uma singularidade tangencial monodrômica, é analítico, o que permite a definição dos coeficientes de Lyapunov. Em seguida, como consequência de uma propriedade ge ral para pares de involuções, obtemos que o índice do primeiro coeficiente de Lyapunov não nulo é sempre par. Além disso, é obtida uma fórmula recursiva geral juntamente com um algoritmo do Mathematica para calcular os coeficientes de Lyapunov. Como aplicação dos coeficientes de Lyapunov, temos os problemas de isocronicidade e ciclici dade, que são problemas clássicos na teoria qualitativa de campos vetoriais planares. O problema de ciclicidade consiste em estimar o número de ciclos limite que surgem de sin gularidades monodrômicas. Tradicionalmente, esta estimativa baseia-se nos coeficientes de Lyapunov. No entanto, em sistemas não suaves, além dos ciclos limite que bifurcam variando os coeficientes de Lyapunov, o número de ciclos limite pode aumentar em um por meio do fenômeno de bifurcação conhecido como bifurcação pseudo-Hopf. Neste estudo, vamos além da bifurcação pseudo-Hopf, demonstrando que a destruição de (2k, 2k)-singularidades tangenciais monodrômicas gera pelo menos k ciclos limite em torno de segmentos de deslize. O problema de isocronicidade consiste em caracterizar se um centro é isócrono ou não, isto é, se todas as trajetórias em uma vizinhança do centro têm o mesmo período. Este problema é geralmente investigado por meio da chamada função período. Neste trabalho, exploramos o problema de isocronicidade para centros tangenciais de campos vetoriais de Filippov planares. Ao calcular a função período para campos vetoriais de Filippov planares em torno de centros tangenciais, mostramos que tais centros nunca são isócronos Ver menos

Abstract: In planar analytic vector fields, a monodromic singularity can be distinguished between a focus or a center by means of the Lyapunov coefficients, which are given in terms of the power series coefficients of the first-return map defined around the singularity. In this thesis, we are interested in an analogous problem for monodromic tangential singularities of piecewise analytic vector fields Z = (Z +, Z ), exploring the Lyapunov coefficients for monodromic tangential singularities in Filippov systems and also explor ing problems concerning the Lyapunov coefficients as the isochronicity and cyclicity problems. First, we prove that the first-return map, defined in a neighborhood of a monodromic tangential singularity, is analytic, which allows the definition of the Lyapunov coeffi cients. Then, as a consequence of a general property for a pair of involutions, we obtain that the index of the first non-vanishing Lyapunov coefficient is always even. In addi tion, a general recursive formula together with a Mathematica algorithm for computing the Lyapunov coefficients is obtained. As an application of the Lyapunov coefficients, we have the isochronicity and cyclicity problems, which are classical problems in the qualitative theory of planar vector fields. The cyclicity problem consists in estimating the number of limit cycles emanating from monodromic singularities. Traditionally, this estimation relies on Lyapunov coefficients. However, in nonsmooth systems, besides the limit cycles bifurcating by varying the Lyapunov coefficients, the number of limit cycles can be increased by one via the bifurcation phenomenon, known as pseudo-Hopf bifurcation. In this study, we push beyond the pseudo-Hopf bifurcation, demonstrating that the destruction of (2k, 2k)-monodromic tangential singularities yields at least k limit cycles surrounding sliding segments. The isochronicity problem consists of characteriz ing whether a center is isochronous or not, that is if all the trajectories in a neighborhood of the center have the same period. This problem is usually investigated by means of the so-called period function. In this work, we explore the isochronicity problem for tangential centers of planar Filippov vector fields. By computing the period function for planar Filippov vector fields around tangential centers, we show that such centers are never isochronous Ver menos