Resumo: Esta tese tem como objetivo apresentar resultados na direção de três problemas distintos. Mostramos que álgebras graduadas que são soma de duas subálgebras homogêneas satisfazendo identidades graduadas nem sempre são gr-PI álgebras. Além disso, apresentamos condições suficientes para uma tal soma satisfazer alguma identidade polinomial graduada. Consideramos imagens de polinômios multilineares graduados sobre a álgebra graduada de matrizes triangulares superiores e classificamos tais imagens para certas graduações. Obtemos uma descrição completa no caso de dimensão baixa nos ambientes ordinário e de Jordan. Também estudamos o caso de matrizes triangulares superiores com involução graduada e de dimensão baixa, onde classificamos imagens de polinômios multilineares nestas álgebras bem como mostramos que tais imagens nem sempre são subespaços. Uma generalização de álgebras zpd é apresentada (as chamadas álgebras f-zpd) e mostramos que nem sempre a álgebra das matrizes é f -zpd. Fornecemos vários exemplos de polinômios f em que a álgebra das matrizes é f-zpd, e consideramos um problema do tipo Nullstellensatz que está relacionado com a classe de álgebras introduzida Ver menos

Abstract: The main goal of this thesis is to present results in the direction of three distinct problems. We show that graded algebras which are sum of two homogeneous subalgebras satisfying graded identities are not always gr-PI algebras. Moreover, we give sufficient conditions for the sum to satisfy some graded polynomial identity. We consider images of multilinear graded polynomials on the graded algebra of upper triangular matrices and we classify such images for certain gradings. We obtain a full description in the case of small dimension for the ordinary and Jordan settings. We also study the case of upper triangular matrices with graded involution and of small dimension, where we classify the images of multilinear polynomials on these algebras, moreover we show that such images are not always vector subspaces. A generalization of zpd algebras is presented (the so called f-zpd algebras) and we prove that the full matrix algebra is not always f-zpd. We give several examples of polynomials f where the full matrix algebra is f-zpd, and we also consider a problem of Nullstellensatz type which is related to the class of algebras introduced Ver menos