Resumo: Nesta dissertação estuda-se elementos da Teoria de Transporte Ótimo, de estruturas de comprimento em espaços métricos e de aproximação de espaços métricos com o objetivo de mostrar sob quais condições os grupos de isometrias de um espaço métrico de medida será um grupo de Lie. Em particular, mostra-se que os grupos de isometrias de espaços cujo problema de transporte ótimo é bem comportado, é um grupo de Lie. Além disso, também estuda-se funcionais lagrangianos como generalização de funcionais de comprimento através da Teoria de Transporte Ótimo e como isto pode ser usado para mostrar que os espaços de Wasserstein são espaços geodésicos Ver menos

Abstract: In this dissertation, we study elements of the Theory of Optimal Transport, of length structures in metric spaces, and approximations of metric spaces with the goal of showing in which conditions the groups of isometries of a metric measure space will be a Lie group. In particular, we show that the isometry groups of spaces in which the optimal transport problem is well behaved, is a Lie group. Moreover, we also study lagrangian functionals as a generalization of length functionals by means of the theory of optimal transport and how this can be used to show that the Wasserstein spaces are geodesic Ver menos