Resumo: Neste trabalho investigamos o comportamento assintótico de modelos matemáticos que descrevem o escoamento de fluidos incompressíveis não-Newtonianos, com e sem termos de retardo. Supomos que o fluido ocupa um domínio limitado com fronteira regular em duas ou três dimensões. Nestes modelos o tensor de estresse, associado à viscosidade do fluido, é caracterizado como sendo uma função que satisfaz condições de p-coercividade e (p-1)-crescimento. Para o modelo sem termo de retardo, além de resultados de existência, unicidade e regularidade de solução, mostramos existência de atratores do tipo pullback sobre universos temperados nos espaços de Banach (L^2)^n e (W_0^1,p)^n com divergente nulo, denotados por H e Vp, respectivamente. Em H, o comportamento assintótico pullback é analisado usando um método de energia para p>=1+2n/(n+2). Neste caso, as soluções fracas definem um processo multívoco que é semi-contínuo superiormente e fechado. Para o estudo de atratores do tipo pullback em Vp, além de maior regularidade na força externa, será necessário que o tensor de estresse seja um potencial e p>= 5/2 se n=3 ou p>2 se n=2. Assim, o processo definido sobre Vp torna-se um processo unívoco, devido à unicidade da solução fraca. Finalmente, mostramos um resultado de comparação dos atratores em H e Vp. Para o modelo com termos de retardo, primeiramente mostramos a existência de soluções fracas para p>=1+2n/(n+2). A partir das soluções fracas é definido um processo multívoco e provada a existência de atratores do tipo pullback, em universos temperados, definidos sobre dois espaços de Banach diferentes. A existência dos atratores dependerá de p e de um parâmetro relacionado aos coeficientes de viscosidade do tensor de estresse e aos parâmetros associados aos termos de retardo. Ver menos

Abstract: In this work, we investigate the asymptotic behavior of mathematical models that describe the flow of non-Newtonian incompressible fluids, with and without delay terms. We assume that the fluid occupies a smooth bounded domain in two or three dimensions. In these models, the stress tensor, associated with fluid viscosity, is characterized as a function that satisfies p-coercivity and (p-1)-growth conditions. For the model without delay term, in addition to results of existence, uniqueness and regularity of the solution, we show the existence of pullback attractors on tempered universes in the Banach spaces (L^2)^n and (W_0^1,p)^n with divergence-free, denoted by H and Vp, respectively. In H, the pullback asymptotic behavior is analyzed by an energy method for p>=1+2n/(n+2). In this case, weak solutions define a multi-valued process that is upper semi-continuous with closed values. For the study of pullback attractors in Vp, besides the higher regularity on the external force, it will be necessary the stress tensor to be a potential and p>= 5/2 if n=3 or p>2 if n=2. Thus, the process defined on Vp becomes a single-valued process, due to the uniqueness of the weak solution. Finally, we show a comparison result between the attractors in H and Vp. For the model with delay terms, we first show the existence of weak solutions for p>=1+2n/(n+2). From the weak solutions, a multi-valued process is defined and the existence of pullback attractors, in tempered universes, defined over two different Banach spaces is proven. The existence of the attractors will depend on p and a parameter related to the viscosity coefficients of the stress tensor and the parameters associated with the delay terms. Ver menos