Resumo: O cólon humano é propício ao desenvolvimento de câncer devido à sua renovação celular que consiste em um alto número de proliferações por dia, localizadas em pequenas cavidade chamadas de criptas. O epitélio do cólon é formado por milhões de criptas e é conhecido que mutações no processo de proliferação (dentro das criptas) podem conduzir à carcinogênese. A proliferação de células colônicas pode ser modelada usando multiescalas (FIGUEIREDO et al., 2013). Em particular, nós podemos usar uma cripta de referência como um domínio microescala, que é periodicamente distribuído em um domínio macroescala, onde este é associado a uma porção do epitélio do cólon. O modelo final resulta em um sistema de EDPs acoplado formado por uma equação elítica e uma parabólica na qual as variáveis são a densidade de células proliferativas e a pressão celular exercida. Apresentamos o processo de homogenização desse sistema de equações supondo a existência de uma expansão assintótica da solução e das demais funções que compõem o problema, veja (D.; P., 1999). Aplicamos um método de resolução multiescala baseado em elementos finitos (HMM-FEM) para aproximar a solução homogenizada encontrado em alguns trabalhos como (ABDULLE, 2009; ABDULLE, 2011; ABDULLE; HUBER, 2016). No cenário onde o problema é acoplado e não linear, a implementação de métodos se torna mais robusta e custosa computacionamente, portanto optamos por resolver primeiro o problema elítico e depois o parabólico como uma forma de amenizar essa complexidade. Como poderemos ver mais em frente, essa estratégia não afeta as ordens de convergência dos métodos. Em uma única escala, estudamos estabilidade e convergência de um esquema supraconvergente baseado em diferenças finitas centradas para malhas não uniformes que é equivalente à um esquema baseado em elementos finitos. Em um cenário mais simplificado, estudamos convergência e estabilidade do método apresentado. Já para um caso mais geral provamos, para s = 1, 2, ordem O(h^s) de convergência para a solução e gradiente se a solução exata está em H^(1)(omega). Para o problema homogenizado, apresentamos uma estratégia supraconvergente que permite aproximar a solução do problema homogenizado acoplado, onde numericamente obtemos uma ordem de convergência O(H^2+h^2). Por fim, buscamos apresentar o esboço de um esquema para resolver problemas multiescala usando dos bons resultados de convergência discutidos acima. Esse modelo é baseado em resolover um problema microescala que posteriormente será usado para construir uma solução macroescala para o sistema homogenizado. Os primeiros indícios de convergência surgem dos resultados numéricos obtidos. Ver menos

Abstract: The human colon is prone to develop a cancer due to its cell renovation that consists in a large number of cell divisions per day located in small cavities of the colon epithelium, called crypts. The colon epithelium is filled by millions of crypts, and it is known that mutations in the cell proliferation process (inside the crypts) can lead to the carcinogenesis. Colonic cell proliferation can be modeled by using multiscales (FIGUEIREDO et al., 2013). In particular, we can use a reference crypt, as a microscale domain, that is periodically distributed in a macroscale domain that is a portion of the colon epithelium. The final model results in a coupled PDE system formed by an elliptic and parabolic equations whose unknowns are the proliferative cell density and the exerted cell pressure. We present a homogenization for the final PDE model where it is supposed to exist a asymptotic expansion for the exact solution of the problem , see (D.; P., 1999). We apply a multiscale method based on finite elements (HMM-FEM) to approximate the homogenized solution as in (ABDULLE, 2009; ABDULLE, 2011; ABDULLE; HUBER, 2016). The coupling and the non-linearity of the system implies a more complex implementation and increase the computational effort, thus we first solve the elliptic problem and then the parabolic one to make it easier. As we can see later, that strategy does not affect the convergence rates. Furthermore, in a single scale, we study a supraconvergent method based on centered finite difference to nonuniform mesh which is equivalent to a fully discrete linear finite element method. Firstly we study convergence and stability of a simpler model and then we prove for s = 1, 2 order O(h^s) convergence of solution and gradient if the exact solution is in H^1(omega). Numerical results illustrate the methods above. For the multiscale problem, we present a supraconvergent scheme which provides approximations to the coupled system with O(H^2+h^2) of convergence rate. This is done by solving the homogenized problem with the supraconvergent method discussed before. Our last contribution is a multiscale model in development which can be useful to solve multiscale problems with the good convergence rates discussed above. That model is based on solving a microscale problem that will be used to construct a macroscale solution for the homogenized system. Numerical results for this model suggest a supraconvergence. Ver menos