Resumo: Neste trabalho, investigamos a existência de códigos perfeitos em reticulados ambientes gerais considerando-se a métrica euclidiana. Discutimos a relação entre um ladrilhamento discreto de um reticulado e o ladrilhamento associado no espaço $n$-dimensional, bem como algumas caracterizações equivalentes de ladrilhamentos. Generalizamos limitantes para o raio de códigos perfeitos em reticulados ambientes genéricos, o que antes era conhecido para o reticulado $\bbZ^{n}$. Os novos limitantes são baseados nas densidades de empacotamento e cobertura e no raio de cobertura do reticulado ambiente. Considerando duas famílias de reticulados algébricos bidimensionais e as famílias que obtemos mergulhando-as em dimensões maiores, estudamos os formatos de ladrilhos e a quantidade de códigos perfeitos encontrados. É apresentado um algoritmo para a busca de códigos perfeitos, que é utilizado para encontrar todos os códigos perfeitos para uma coleção de reticulados ambientes nas dimensões dois e três. Em contraste com o reticulado $\bbZ^{n}$, esses estudos de caso mostram que, alterando-se o reticulado ambiente, é possível encontrar conjuntos de códigos perfeitos Ver menos

Abstract: In this work, we investigate the existence of perfect codes in general ambient lattices under the Euclidean metric. We discuss the relationship between a discrete tiling of a lattice and the associated continuous tilling of the $n$-dimensional lattice, as well as some equivalent characterizations of tilings. We generalize bounds on the radius of perfect codes in a generic lattice, what was previously known for the lattice $\bbZ^{n}$. The new bounds are based on the packing and the covering densities and on the covering radius of the ambient lattice. Considering two families of two-dimensional algebraic lattices and the families we can obtain by embedding them in larger dimensions, we have studied the tile formats and the number of perfect codes found. It is presented an algorithm for the search of perfect codes which is used to find all perfect codes for a collection of ambient lattices in dimensions two and three. In contrast to the lattice $\bbZ^{n}$, these case studies show that, by changing the ambient lattice, one can find sets of perfect codes Ver menos