Resumo: Nesta tese apresentar-se-á alguns resultados relativos a não-linearidades do tipo exponencial com pesos apropriados: primeiramente, tratar-se-á primeiramente a atingibilidade de supremos do tipo Trudinger-Moser e Trudinger-Moser-Hardy na bola unitária e em um domínio com fronteira $C^1$ simplesmente conexo contendo a origem,respectivamente (ambos os casos em $\mathbb{R}^2$). No terceiro capítulo, estabelecer-se-á um resultado de existência para o caso crítico de um problema de Dirichlet na bola unitária em $\mathbb{R}^2$ elíptico com não-linearidade exponencial. Chega-se em condições de decaimento para o limite do peso na origem, com condições pouco restritivas para o comportamento do peso numa bola muito pequena no entorno da origem. Tal resultado é atingido utilizando técnicas de Compacidade Concentrada Ver menos

Abstract: On this thesis we present some results regarding critical nonlinearities of exponential type with appropriate weights: first regarding the attainability of supremums of Trudinger-Moser and Trudinger-Moser-Hardy-type functionals on the unit ball and on a simply connected domain with $C^1$ boundary containing the origin respectively (both in $\mathbb{R}^2$), and then an existence result for the critical case of an elliptical Dirichlet-type problem with exponential nonlinearity on the unit ball in $\mathbb{R}^2$. We arrive on decay conditions for the limit of the weight at the origin (thus, we do care about the behavior of the weight only on a neighbourhood of the origin, ignoring it on the rest of the domain). This is achieved using Concentration-Compactness-type techniques Ver menos