Resumo: Neste trabalho, estudamos a existência e multiplicidade de soluções fracas para o seguinte problema elíptico de tipo Kirchhoff envolvendo o $p$--Laplaciano \begin{equation*} -M\left(\int_{\Omega} |\nabla u|^p \,dx\right)\Delta_{p} u=\lambda f(x,u) +|u|^{p^*-2}u\quad\text{em }\quad \Omega,\quad u=0,\quad\text{em}\quad\partial \Omega \end{equation*} \nii onde $\Omega$ é um domínio limitado e suave em $\mathbb{R}^N$, com dimensão $N>p>1$, $\lambda>0$, $f$ é um termo subcrítico e $M$ modela o coeficiente de Kirchhoff. Enfrentamos três casos particulares, dependendo do comportamento de $f$. Por isto, combinamos diferentes métodos variacionais com apropriados argumentos topológicos. Em todos os casos, precisamos do principio de concentração e compacidade de Pierre--Louis Lions para superar a perda de compacidade na imersão de Sobolev gerada pela presença do termo com expoente crítico $|u|^{p^*-2}u$. A peculiaridade dos nossos resultados é que conseguimos cobrir o caso mais delicado quando $M(0)=0$, ou seja com $M$ {\em degenerada} Ver menos

Abstract: In this work, we study the existence and multiplicity of weak solutions for the following Kirchhoff type elliptic problem involving $p$--Laplacian operator \begin{equation*} -M\left(\int_{\Omega} |\nabla u|^p \,dx\right)\Delta_{p} u=\lambda f(x,u) +|u|^{p^*-2}u\quad\text{em }\quad \Omega,\quad u=0,\quad\text{em}\quad\partial \Omega \end{equation*} \nii where $\Omega$ is a bounded and smooth domain in $\mathbb{R}^N$, with dimension $N>p>1$, $\lambda>0$, $f$ is a subcritical term and $M$ models the Kirchhoff coefficient. We face three particular cases, depending on the behavior of $f$. For this, we combine different variational methods with appropriate topological arguments. In all cases we need the principle of concentration and compactness of Pierre--Louis Lions to overcome the lack of compactness in the Sobolev immersion generated by the presence of the critical term $|u|^{p^*-2}u$. The peculiarity of our results is that we are able to cover the most delicate case when $M(0)=0$, that is when $M$ is {\em degenerate} Ver menos