Resumo: Em epidemiologia, medidas de controle podem ser propostas e implementadas de modo a reduzir infecções e custos associados a uma doença infecciosa. Neste trabalho usamos modelagem matemática, teoria de controle ótimo e simulações numéricas para descrever, simular e analisar um problema da vida real nesse sentido. Nosso objeto de estudo em particular foi o espalhamento geográfico do vírus Zika, que obteve preocupação mundial após um recente surto na América Latina que se iniciou no Brasil. Houve um alto número de doenças neurológicas, como microcefalia em recém nascidos de mães infectadas por Zika, o que nunca havia ocorrido antes. O vírus é transmitido principalmente por mosquitos {\itshape Aedes aegypti}, mas há casos confirmados de transmissão direta (sexual). Um modelo de difusão-reação foi formulado, baseado em equações diferenciais parciais, que considera movimento espaço-temporal de humanos e vetores, com transmissão local do vírus Zika. Vacinação foi introduzida como um controle variável no tempo e espaço, dando imunidade a humanos suscetíveis, com o objetivo de caracterizar uma estratégia de vacinação ótima que minimiza os custos associados a infecções e vacinas. A caracterização do controle ótimo foi obtida por meio de equações de estado e adjuntas. Soluções numéricas do modelo foram obtidas usando os métodos de elementos finitos para variáveis espaciais, e de diferenças finitas para a variável temporal. Utilizando dados para o surto inicial de Zika em 2015 do estado do Rio Grande do Norte no Brasil, alguns parâmetros do modelo foram estimados usando uma abordagem de quadrados mínimos. A metodologia de estimação de parâmetros foi testada com dados artificialmente gerados. Uma análise de sensibilidade global foi realizada de forma a encontrar os parâmetros com mais impacto no custo total e no número de infecções. Diversos cenários foram considerados e discutidos em termos do número de novas infecções e e custos, mostrando que a aplicação do controle ótimo foi bem sucedida, significantemente reduzindo estes números Ver menos

Abstract: In epidemiology, control measures can be proposed and implemented in order to reduce infections and associated costs of an infectious disease. In this work we used mathematical modeling, optimal control theory and numerical simulations to describe, simulate, and analyze a real life problem in this sense. Our particular subject of study was the geographical spread of the Zika virus, which has acquired worldwide concern after a recent outbreak in Latin America that started in Brazil. There was a high number of associated neurological conditions, such as microcephaly in newborns from infected mothers, which had never happened before. The virus is transmitted mainly by {\itshape Aedes aegypti} mosquitoes, but direct (sexual) transmission has been documented. We formulated a reaction diffusion model, based on partial differential equations, that considers spatiotemporal movement of humans and vectors, with local contact transmission of Zika virus. Vaccination was introduced as a space and time variable control, giving immunity to susceptible humans, with the goal of characterizing an optimal vaccination strategy that minimizes the costs associated with infections and vaccines. The optimal control characterization was obtained in terms of state and adjoint equations. Numerical solutions of the model were obtained using the finite element method for the space variables, and the finite difference method for time. Using data for the initial 2015 Zika outbreak in the state of Rio Grande do Norte in Brazil, some parameters of the model were estimated using a least squares approach. The parameter estimation methodology was tested with artificially generated data. A global sensitivity analysis was performed in order to find the parameters with most impact in the overall cost and in the number of new infections. Several scenarios were considered and discussed in terms of number of new infections and costs, showing that the optimal control application was successful, significantly reducing these quantities Ver menos