Resumo: O desenvolvimento de vacinas seguras foi possível por meio da compreensão do complexo sistema imunológico humano: como são as interações entre hospedeiro e patógeno, quais são as células que combatem a infecção, suas funções e ativação. Existem muitos tipos de vacinas, tais como vacinas de vetor vivo, vacinas heteróloga, vacinas subunidade, vacinas conjugadas, vacinas de DNA, vacinas inativas e vacinas ativas. Como exemplo, tomamos vacinas inativas e ativas. Vacinas inativas (ou preparações mortas) são compostas por partículas de vírus ou bactérias, as quais são seguras, pois não se multiplicam no hospedeiro. Esta característica resulta em uma indução de resposta imunológica incompleta e demanda mais de uma dose da vacina para reforçar a proteção depois da primeira dose (por exemplo, febre amarela, hepatite B e tétano), o que é conhecido como falha vacinal primária. A falha vacinal secundária ocorre quando os níveis de imunidade induzida pela vacina decaem mais rapidamente que o normalmente esperado. Outra importante questão é a eficiência das vacinas, que pode ser variável. Neste contexto surge a questão: A indução de imunidade temporária (falha secundária) e a efetividade parcial (falha primária) da vacina poderiam originar um surto epidêmico inesperado e evitar o principal objetivo da vacinação ou até mesmo ser perigoso para o esquema de vacinação? A resposta é não. Esta situação não é razoável do ponto de vista biológico. Entretanto, é matematicamente possível e esta situação caracteriza a bifurcação ''backward''. Esta bifurcação ocorre apenas se parâmetros particulares estão em intervalos específicos, como descritos em um teorema. Posteriormente, consideramos uma vacina totalmente eficiente que não possui as falhas primária e secundária e uma doença assintomática, isto é, indivíduos suscetíveis, expostos, infectantes e recuperados são indistinguíveis. Logo, é difícil identificar quem deve ser vacinado, isto é, os indivíduos suscetíveis. Portanto, para garantir o controle da doença, indivíduos expostos, infectantes e recuperados são vacinados, o que conduz a um desperdício de vacinas. A partir do modelo determinístico SEIRV formulado com parâmetros constantes, uma taxa limiar de vacinação é obtida. Entretanto, devido à variação contínua do número de indivíduos, a erradicação da infecção é atingida assintoticamente. Para incorporar o número inteiro de indivíduos, usamos uma versão estocástica de tempo contínuo do modelo SEIRV com estados inteiros, o qual é simulado por meio do algoritmo de Gillespie, considerando que as transições entre os compartimentos ocorrem aleatoriamente de acordo com uma cadeia de Markov com taxas de transição iguais as taxas determinísticas. Tempos de erradicação para a doença são obtidos para diferentes taxas de vacinação, bem como o número de indivíduos em cada classe (suscetíveis, expostos, infectantes, recuperados e vacinados). O custo da aplicação das vacinas foi calculado, para ambos os casos de doenças sintomáticas e assintomáticas (onde existem vacinas desperdiçadas em indivíduos não suscetíveis) levando em conta o tempo de erradicação e o número de vacinas aplicadas na comunidade. Baseado nos resultados fornecidos pelo modelo estocástico, gestores de saúde pública podem escolher uma política de vacinação considerando um orçamento limitado. No último modelo matemático, incorporamos um parâmetro $\kappa$ que indica o quão assintomática a doença é. Simulamos diferentes cenários para $\kappa$ e obtivemos tempos para erradicação da doença, bem como o número de indivíduos em cada classe e o custo da aplicação das vacinas Ver menos

Abstract: The development of safe vaccines was possible through understanding of the complex human immunological system: how are the interactions between host and pathogen, what are the cells that fight infection, their functions and activation. There are many types of vaccines, such as live vector vaccine, heterologous vaccine, subunit vaccine, conjugate vaccine, DNA vaccine, inactive vaccine and active vaccine. As example, let inactive and active vaccines be considered. Inactive vaccines (or killed preparations) are composed by virus or bacterial particles, which are safe because they do not multiply inside the host. This feature results in an incomplete induction of the immunological response, and demands for more than one dose of the vaccine to reinforce the protection after first dose (for instance, yellow fever, hepatitis B and tetanus), which is known as the primary vaccine failure. A secondary vaccine failure occurs when the levels of induced immunity by vaccine wane and decline at a faster rate than normally expected. Another important question about vaccines is their efficiency that can be variable. In this context, the following question arises: Can the temporary induction of immunity (secondary failure) and partial effectiveness (roughly primary failure) of vaccines originate unexpected outcomes to avoid the achievement of the main goal of vaccinations, or even become dangerous for some scheme of vaccination? The answer is no. This situation is not reasonable in a biological point of view. However it is mathematically possible and this situation characterizes a backward bifurcation. This bifurcation only occurs if particular parameters are in specific intervals, as described in a theorem. Posteriorly, we consider a totally efficient vaccine that does not have failures and an asymptomatic disease, that is, susceptible, exposed, infected and recovered individuals are indistinguishable. Thus, it is difficult to identify who should be vaccinated, that is, the susceptible individuals. Therefore, to ensure control of the disease, exposed, infected and recovered individuals are also vaccinated, which leads to a waste of vaccines. From a SEIRV deterministic model formulated with constant model parameters, a threshold vaccination rate can be obtained. However, due to the continuous varying number of individuals, the eradication of the infection is achieved asymptotically. To incorporate the integer-valued number of individuals, we use a continuous-time stochastic version of the SEIRV model with integer-valued states, which is simulated applying the Gillespie algorithm, considering that the transitions between compartments occur randomly according to a Markov chain with transition rates equal to the deterministic rates. Times for the eradication of the disease are obtained for different vaccination rates, as well as the number of individuals in each class (susceptible, exposed, infectious, recovered and vaccinated). The cost of the application of the vaccine was computed, for both the cases of symptomatic and asymptomatic diseases (where there are vaccines wasted on non-susceptible individuals) taking into account the eradication time and the number of vaccines applied in the community. Based on the results provided by the stochastic model, public health policy decision makers can choose a vaccination policy taking into account a limited budget. In the last mathematical model, we incorporate a ? parameter that indicates how asymptomatic the disease is. We simulate different sceneries for different ? and obtained times for the eradication of the disease, as well as the number of individuals in each class and the cost of the application of the vaccine Ver menos