Resumo: Considerado uma variação do problema da galeria de arte, o problema do posicionamento de antenas trata do posicionamento do menor número de antenas requerido para determinar se uma pessoa está dentro ou fora da galeria. Uma antena propaga uma chave única dentro de um ângulo específico de transmissão, de modo que o conjunto de chaves recebidas em um dado ponto do plano seja suficiente para decidir se ele pertence ou não ao polígono que representa a galeria. Para verificar esta propriedade de localização, uma fórmula Booleana deve ser produzida junto com o posicionamento de antenas. Dizemos que as antenas estão em posição natural se elas estão localizadas nos vértices ou nas arestas do polígono e transmitindo sinal no ângulo formado pelos lados deste último no ponto onde a antena está posicionada. O problema do posicionamento natural de antenas é NP-difícil. Nesta dissertação, apresentamos um algoritmo exato para resolvê-lo. Para tanto, propomos um modelo inicial de programação linear inteira para o problema que, ao ser computado por um resolvedor comercial, se mostrou capaz de encontrar soluções ótimas de instâncias correspondentes a polígonos com algumas dezenas de vértices. Em seguida, através de estudos de propriedades geométricas, são introduzidas várias melhorias no modelo matemático e também na forma de computá-lo. Como consequência desta pesquisa, desenvolvemos um algoritmo iterativo baseado em programação linear inteira com o qual conseguimos solucionar o problema para instâncias consideravelmente maiores. A eficiência do nosso algoritmo é certificada por resultados experimentais que compreendem as soluções ótimas de 720 instâncias de até 1000 vértices, incluindo polígono com buracos, as quais foram calculadas em menos de seis minutos em um computador desktop padrão Ver menos

Abstract: Considered a variation of the art gallery problem, the wireless localization problem deals with the placement of the smallest number of broadcasting antennas required to determine if someone is inside or outside the gallery. Each antenna propagates a unique key within a certain antenna-specific angle of broadcast, so that the set of keys received at any given point is sufficient to determine whether that point is inside or outside the polygon that represents the gallery. To ascertain this localization property, a Boolean formula must be produced along with the placement of the antennas. We say that the antennas are in natural position if they are located at the vertices or the edges of the polygon and transmitting their signals in the angle formed by the sides of the polygon at the point where the antenna is positioned. The natural wireless localization problem is NP-hard. In this dissertation, we present an exact algorithm to solve it. To this end, we propose an initial integer linear programming model for the problem that, after being computed by a commercial solver, proved to be capable of finding optimal solutions for instances corresponding to polygons with tens of vertices. Then, through studies of geometric properties, several improvements are introduced in the mathematical model and also in the way of computing it. As a result of this research, we develop an iterative algorithm based on integer linear programming with which we can solve the problem for considerably larger instances. The efficiency of our algorithm is certified by experimental results comprising the solutions of 720 instances, including polygon with holes with up to 1000 vertices, in less than six minutes on a standard desktop computer Ver menos