Resumo: Esta tese tem como objetivo principal investigar a regularidade de soluções para problemas de obstáculo associados a operadores elípticos de segunda ordem, sejam eles quase-lineares ou totalmente não-lineares. Desenvolvemos, ainda, uma versão da estimativa $L^\infty$ (uma espécie de princípio do máximo) para certas equações na forma divergente, empregando uma abordagem baseada em problemas de obstáculo auxiliares. O trabalho concentra-se na análise de três problemas distintos: dois formulados na forma divergente e um terceiro envolvendo um operador na forma não divergente. \\ No primeiro problema estudado obtemos uma versão da estimativa $L^{\infty}$ para soluções fracas de equações do tipo $p$-Laplaciano da forma \begin{equation*} -\operatorname{div} \mathfrak{a}\left(x, \nabla u\right) = f(x) \quad \text{em} \quad \Omega, \end{equation*} em que $1 < p < \infty$, $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ ($n \geqslant 2$) é um domínio adequado (possivelmente ilimitado, com medida finita), $f \in L^{q}(\Omega)$ para $q > \tfrac{n}{p}$ e $q \ge \tfrac{p}{p-1}$, e $\mathfrak{a} : \Omega \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ é um campo vetorial contínuo que satisfaz certas propriedades estruturais. \\ Para o segundo problema mostramos existência/unicidade de soluções fracas de um problema de obstáculo para um operador quase linear com termos fontes ilimitados. % não homogêneo. %quase-linear de segunda ordem com lei de degedenesc\^{e}ncia tendo comportamento polinomial e termos fontes ilimitados. Em nossos resultados, obtemos estimativas gradiente, a saber, $C^{1, \alpha}_{loc}$ para a solução com um expoente de regularidade expl\'{i}cito e universal. Para alguns cen\'{a}rios espec\'{i}ficos, mostramos a n\~{a}o degeneresc\^{e}ncia de solu\c{c}\~{o}es, a qual fornece informações adicionais sobre a fronteira livre. Nossas estimativas de regularidade melhoram e estendem em uma certa medida resultados obtidos previamente para o problema de obstáculo governado para o $p-$Laplaciano com termo fonte limitado. \\ Por fim, o terceiro problema estudado foi o seguinte problema de obstáculo: \begin{equation}\label{op0} \left\{ \begin{array}{rclcl} F(x, Du, D^2u)& \le & f(x) & \text{em} & \Omega \\ (F(x, Du, D^2u)- f)(u-\varphi)& = & 0 & \text{em} & \Omega \\ u(x)& \ge & \varphi(x) & \text{em} & \Omega \\ u(x) & = & g(x) & \mbox{sobre} & \partial \Omega, \end{array} \right. \end{equation} onde $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ é um domínio suave e limitado, $F: \Omega \times \mathbb{R}^n \times \text{Sym}(n) \to \mathbb{R}$ é um operador uniformemente elíptico e satisfaz determinadas condições de crescimento superlinear e subquadrático na entrada do gradiente. O termo não-homogênio $f\in L^p{(\Omega)}$ é dado, assim como o obstáculo $\varphi \in W^{2,2p}(\Omega)$ (ou $\varphi \in W^{2,p}(\Omega)$) e o dado de bordo $g\in W^{2,p}(\partial\Omega)$, onde $p>\tfrac{n}{2}$. Para este problema obtemos existência, unicidade e estimativas $W_{loc}^{2,p}$ de $L^p$-soluções no sentido da viscosidade de \eqref{op0} (desde que $p>n$). Para o caso em que o crescimento é linear obtemos os mesmos resultados também para $p \in (p_0,n]$ (em que $p_0$ é a constante de Escauriaza) Ver menos

Abstract: This thesis aims to investigate the regularity of solutions to obstacle problems associated with second-order elliptic operators, whether quasilinear or fully nonlinear. We also develop an $L^\infty$ estimate (a kind of maximum principle) for certain equations in divergence form, using an approach based on auxiliary obstacle problems. The work focuses on the analysis of three distinct problems: two formulated in divergence form and a third involving a non-divergence operator. \\ In the first problem studied we obtain an $L^\infty$ estimate for weak solutions of $p$-Laplacian-type equations of the form $$ -\operatorname{div} \mathfrak{a}(x, \nabla u) = f(x) \quad \text{in} \quad \Omega, $$ where $1 < p < \infty$, $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ ($n \geq 2$) is a suitable domain (possibly unbounded with finite measure), $f \in L^{q}(\Omega)$ with $q > \tfrac{n}{p}$ and $q \ge \tfrac{p}{p-1}$, and $\mathfrak{a} : \Omega \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ is a continuous vector field satisfying certain structural conditions. \\ For the second problem, we show existence and uniqueness of weak solutions to an obstacle problem for a quasilinear operator with unbounded source terms. In our results, we obtain gradient estimates, namely $C^{1,\alpha}_{loc}$ regularity for the solution with an explicit and universal regularity exponent. For some specific scenarios, we show the non-degeneracy of solutions, which provides additional information about the free boundary. Our regularity estimates improve and extend, to a certain extent, previously obtained results for obstacle problems governed by the $p$-Laplacian with bounded source terms. \\ Finally, the third problem studied is the following obstacle problem: $$ \left\{ \begin{array}{rclcl} F(x, Du, D^2u) &\le& f(x) & \text{in} & \Omega \\ (F(x, Du, D^2u) - f)(u - \varphi) &=& 0 & \text{in} & \Omega \\ u(x) &\ge& \varphi(x) & \text{in} & \Omega \\ u(x) &=& g(x) & \text{on} & \partial\Omega, \end{array} \right. $$ where $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ is a smooth and bounded domain, $F: \Omega \times \mathbb{R}^n \times \text{Sym}(n) \to \mathbb{R}$ is a uniformly elliptic operator satisfying certain superlinear and subquadratic growth conditions in the gradient variable. The nonhomogeneous term $f \in L^p(\Omega)$ is given, as well as the obstacle $\varphi \in W^{2,2p}(\Omega)$ (or $\varphi \in W^{2,p}(\Omega)$) and the boundary data $g \in W^{2,p}(\partial\Omega)$, where $p > \tfrac{n}{2}$. For this problem, we obtain existence, uniqueness, and $W^{2,p}_{loc}$ estimates for $L^p$-viscosity solutions of \eqref{op0} (provided $p > n$). In the case of linear growth, we obtain the same results also for $p \in (p_0, n]$ (where $p_0$ is the Escauriaza constant) Ver menos