Resumo: A otimização multiobjetivo tem se destacado como uma área de crescente relevância para diversos problemas reais, pois muitos deles envolvem a minimização (ou maximização) simultânea de múltiplos objetivos, muitas vezes conflitantes entre si. Neste trabalho, parte-se da formalização do problema multiobjetivo em espaços de dimensão finita e apresentam-se definições fundamentais de otimalidade de Pareto, incluindo versões fraca e própria, além de discutir o conceito de ponto Pareto crítico. Discutem-se propriedades que impactam a forma como as fronteiras de Pareto podem ser caracterizadas. No que diz respeito aos métodos numéricos, estuda-se inicialmente o método dos pesos, o qual transforma o problema multiobjetivo em um problema de objetivo único, por meio de combinações convexas das funções objetivo. Embora seja eficaz quando o problema é convexo, esse método pode falhar em capturar regiões côncavas da fronteira de Pareto. Em seguida, analisa-se a aplicação do método de descida máxima, onde o conceito de ponto estacionário são adaptados para o contexto multiobjetivo a fim de garantir direções de busca. Como inovação, propõe-se o método dos pesos com coleta, que visa superar as limitações do método dos pesos tradicional. Essa estratégia envolve a coleta de pontos adicionais durante as iterações da busca linear, filtrando-os posteriormente para remover pontos dominados. Tal procedimento se mostra particularmente vantajoso em problemas não convexos, ampliando a exploração de regiões mais complexas da fronteira de Pareto. Em termos computacionais, implementam-se as abordagens citadas em linguagem Julia, adotando estratégias de \emph{multi-start}. Para avaliar o desempenho dos algoritmos, realizam-se testes em um conjunto diversificado de problemas da literatura, variando dimensões, número de objetivos e convexidade do problema. A análise inclui métricas de espalhamento, de pureza (relação com a fronteira verdadeira) e de custo computacional. Os resultados mostram que o método dos pesos com coleta, aliado à verificação de Pareto criticidade, atinge melhor cobertura da fronteira em problemas não convexos, mantendo ainda competitividade em problemas convexos Ver menos

Abstract: Multi-objective optimization has emerged as a field of growing importance for a variety of real-world problems, which often involve the simultaneous minimization (or maximization) of multiple, frequently conflicting objectives. This work begins by formalizing the multi-objective problem in finite-dimensional spaces and presenting fundamental definitions of Pareto optimality, including weak and proper variants, as well as discussing the concept of Pareto critical points. We also examine properties that significantly influence how Pareto fronts can be characterized. Regarding numerical methods, we first study the weighted-sum method, which reduces the multi-objective problem to a single-objective one by taking linear combinations of the objective functions. Although effective for convex problems, it may fail to capture concave regions of the Pareto front. Next, we analyze the application of the steepest descent method, wherein the notion of a stationary point is adapted to the multi-objective setting to guide search directions. As an innovative strategy, we propose the weighted-sum method with gathering, aimed at overcoming the limitations of the traditional weighted-sum method. This approach entails collecting additional points during line search iterations and subsequently filtering out dominated ones. Such a procedure proves particularly beneficial in non-convex problems by enhancing the exploration of more complex regions of the Pareto front. From a computational perspective, the proposed methods are implemented in the Julia programming language, adopting a multi-start scheme. To evaluate the performance of these algorithms, experiments are conducted on a diversified set of benchmark problems, varying in dimensionality, number of objectives, and convexity. The analysis includes metrics of spread, purity (relative to the true front), and computational cost. The results show that the weighted-sum method with gathering, combined with a Pareto criticality check, achieves a broader coverage of the Pareto front in non-convex problems, while remaining competitive in convex scenarios Ver menos