Resumo: Neste trabalho apresentaremos diversos tópicos clássicos das álgebras com identidades polinomiais. Começamos definindo identidades polinomiais, PI álgebras, variedades de álgebras e T-ideais, para depois mostrarmos o processo de multilinearização e suas consequências. Após isso, focaremos no estudo de M_n(K), a álgebra das matrizes n x n. Veremos o teorema de Amitsur-Levitski, que mostra que o polinômio Standard St_{2n} é a identidade polinomial de menor grau para M_n(K). Também estudaremos álgebras centrais simples, com o intuito de provar o Teorema de Skolem-Noether e obter como corolário direto que os automorfismos de M_n(K) que fixam o corpo base K são internos. Depois, veremos a ação do grupo geral linear sobre as m-uplas de matrizes por conjugação. Seguindo os trabalhos fundamentais de Procesi, estudaremos a descrição dos invariantes de tal ação. Assim obteremos o primeiro e o segundo teorema fundamental da teoria dos invariantes de matrizes. Como consequência, conseguiremos a descrição das identidades com traço satisfeitas na álgebra das matrizes de ordem n. Como aplicação, seguindo o trabalho de Razmyslov, obteremos uma cota superior para o índice de nilpotência d(n) do Teorema de Nagata-Higman. Também veremos a cota inferior encontrada por Kuzmin Ver menos

Abstract: In this work we present classical topics in the theory of algebras with polynomial identities. We begin by defining polynomial identities, PI algebras, varieties of algebras, and T-ideals, later on we show the process of multilinearization and its consequences. Afterwards, we focus on the study of M_n(K), the algebra of n x n matrices. We see the Amitsur-Levitski theorem, which shows that the Standard polynomial St_{2n} is the minimal-degree polynomial identity for M_n(K). We also study central simple algebras, and prove the Skolem-Noether theorem. We deduce, as a direct corollary, that the automorphisms of M_n(K) that fix the base field K are inner. Next, we study the action of the general linear group on m-tuples of matrices by conjugation. Following the fundamental work of Procesi, we study the description of the invariants of this action, leading to the first and second fundamental theorems of the invariant theory of matrices. As a consequence, we obtain a description of the trace identities satisfied by the algebra of n x n matrices. As an application, following Razmyslov's work, we derive an upper bound for the nilpotency index d(n) in the Nagata-Higman theorem. Additionally, we deduce the lower bound established by Kuzmin Ver menos