Resumo: O Problema de Geometria de Distâncias (PGD) consiste em determinar a posição de certos pontos num espaço Euclidiano de dimensão pré-estabelecida conhecendo-se um subconjunto das distâncias entre eles. Numa subclasse desse problema, com diversas aplicações, este pode ser visto como um problema de determinar uma sequência de interseções entre esferas e cascas esféricas em Rn, que pode ser usado para determinar a posição de astros celestiais, determinar a posição e orientação de objetos em um ambiente
virtual, para a navegação de robôs autônomos e movimentos de braços mecânicos, operar o Sistema de Posicionamento Global (GPS), localizar redes e determinar estruturas geométricas de moléculas. A interseção entre esferas em Rn já é conhecida na literatura e teoremas que classificam as possíveis formas para a interseção entre m esferas (m = 2) e uma única casca esférica foram provados nos últimos anos. Nesta tese provamos uma versão alternativa para este último tipo de interseção, comparamos com as versões anteriores e estendemos o teorema para um número maior de cascas esféricas. O principal resultado neste trabalho é denominado Teorema das Interseções entre Esferas e Cascas Esféricas e descreve todas as possibilidades para a interseção entre m esferas (m = 2) e r cascas esféricas (r finito) em Rn (n = 2). Todos os resultados são provados usando apenas Álgebra Linear e ilustrados com exemplos numéricos Ver menos

Abstract: The Distance Geometry Problem (DGP) consists in determining the position of certain points in a Euclidean space of pre-established dimension knowing a subset of the distances between them. In a subclass of this problem, with several applications, this can be seen as a problem of determining a sequence of intersections between spheres and spherical shells in Rn, which can be used to determine the position of celestial bodies, determine the position and orientation of objects in a virtual environment, for the navigation of autonomous robots and movements of mechanical arms, operate the Global Positioning System (GPS), locate networks and determine geometric structures of molecules. The intersection between spheres in Rn is already known in the literature and theorems that classify the possible forms for the intersection between m spheres (m = 2) and a single spherical shell have been proven in recent years. In this thesis we prove an alternative version for this last type of intersection, compare it with previous versions and extend the theorem to a larger number of spherical shells. The main result in this work is called the Theorem of Intersections between Spheres and Spherical Shells and describes all the possibilities for the intersection between m spheres (m = 2) and r spherical shells (r finite) in Rn (n = 2). All results are proved using only Linear Algebra and illustrated with numerical examples Ver menos