Resumo: Neste trabalho estudaremos um problema clássico de fronteiras livres o qual tem motivação em Física Matemática: encontrar a posição de equilíbrio de uma membrana elástica (cuja fronteira é mantida fixa) sobre um corpo dado (um obstáculo) sob a ação de forças de contato, por exemplo, fricção, tensão, resistência do ar e gravidade. Do ponto de vista variacional, o problema se reduz a minimizar um funcional energia $$\mathcal{J}(u)=\int_{\Omega} |\nabla u|^2dx - \int_{\Omega} fudx,\ \forall u \in \mathcal{K},$$ em que $$ \mathcal{K}= \{u\in H_0^1(\Omega) :u \geq \phi \ \text{ q.t.p. em } \Omega\}.$$ Além disso, devemos assumir que $\phi\leq 0$ sobre $\partial \Omega$ de modo que $\mathcal{K} \neq \emptyset$. Mostraremos que minimizantes do funcional são soluções fracas da equação de Poisson $$ \Delta u = f(x) \quad \text{em} \quad \Omega \cap \{u>\phi\}. $$ Devemos enfatizar que a existência de um minimizante decorrerá \textit{e.g.} da aplicação do método direto do cálculo de variações e de métodos de penalização para EDPs elípticas e estabilidade de soluções. Mais especificamente, para este trabalho, usaremos a linguagem de \textit{Desigualdades Variacionais}, precisamente os teoremas de Stampacchia, Lax-Milgram, e Lions-Stampacchia, para provar a existência/unicidade e regularidade (em espaços de Hilbert) das soluções do problema de obstáculo. A parte final desta dissertação estabelecerá a regularidade ótima de soluções devido a Frehse, veja \cite{Frehse}, e propriedades de não-degenerescência de soluções. Focaremos nossa abordagem nas técnicas estabelecidas nos trabalhos clássicos de Caffarelli \textit{et al}, veja e.g. \cite{Caff-Kind} e \cite{Caff_Book}, sobre este tema Ver menos

Abstract: In this work, we will study a classic free boundary problem motivated by Mathematical Physics: finding the equilibrium position of an elastic membrane (whose boundary is kept fixed) on top of a given body (an obstacle) under the action of contact forces, such as friction, tension, air resistance, and gravity. From the variational point of view, the problem reduces to minimizing an energy functional $$\mathcal{J}(u)=\int_{\Omega} |\nabla u|^2dx - \int_{\Omega} fudx,\ \forall u \in \mathcal{K},$$ where $$ \mathcal{K}= \{u\in H_0^1(\Omega) :u \geq \phi \ \text{a.e. in } \Omega\}.$$ Furthermore, we must assume that $\phi\leq 0$ on $\partial \Omega$ so that $\mathcal{K} \neq \emptyset$. We will show that minimizers of the functional are weak solutions of the Poisson equation $$ \Delta u = f(x) \quad \text{in} \quad \Omega \cap \{u>\phi\}. $$ We must emphasize that the existence of a minimizer will follow \textit{e.g.} from the application of the direct method of the calculus of variations and penalty methods for elliptic PDEs and stability of solutions. More specifically, for this work, we will use the language of \textit{Variational Inequalities}, precisely the theorems of Stampacchia, Lax-Milgram, and Lions-Stampacchia, to prove the existence/uniqueness and regularity (in Hilbert spaces) of solutions to the obstacle problem. The final part of this dissertation will establish the optimal regularity of solutions due to Frehse, see \cite{Frehse}, and the non-degeneracy properties of solutions. We will focus our approach on the techniques established in the classical works of Caffarelli \textit{et al}, see e.g. \cite{Caff-Kind} e \cite{Caff_Book}, on this subject Ver menos