Resumo: Sejam \(U_1\) e \(W_1\) as álgebras de Lie das derivações da álgebra dos polinômios de Laurent \(K[t, t^{-1}]\) e do anel polinomial \(K[t]\), respectivamente. As álgebras \(U_1\) e \(W_1\) possuem, naturalmente, uma graduação pelo grupo dos inteiros \(\mathbb{Z}\). Elas são classificadas como álgebras de Witt por sua natureza. Neste trabalho, apresentamos as identidades \(\mathbb{Z}\)-graduadas de \(W_1\) com base nas técnicas vistas em \cite{Fideles, Fideles2}. Iniciamos com as identidades graduadas de \(W_1\) sobre um corpo de característica zero. Apesar de uma base para o \(T_\mathbb{Z}\)-ideal dessa álgebra nessas condições ter sido primeiramente obtida por Freitas, Koshlukov e Krasilnikov em \cite{Freitas}, apresentaremos aqui uma perspectiva apresentada por Fideles e Koshlukov (2023). Os últimos autores citados conseguiram resultados análogos através dessa uma nova abordagem utilizando como base a álgebra \(U_1\). Tais resultados também foram obtidos sobre corpos de característica positiva, aos quais nos dedicamos nos capítulos seguintes. O Capítulo \ref{chpt3} foi dedicado ao desenvolvimento do estudo sobre um corpo de característica dois. Ademais, estudamos a independência da identidade para \(W_1\) nessas condições. E finalizamos o trabalho obtendo uma base para as identidades \(\mathbb{Z}\)-graduadas de \(W_1\) sob as hipóteses do corpo base ser infinito e de característica diferente de dois Ver menos

Abstract: Let \(U_1\) and \(W_1\) be the Lie algebras of derivations of the Laurent polynomial algebra \(K[t, t^{-1}]\) and the polynomial ring \(K[t]\), respectively. These algebras naturally have a \(\mathbb{Z}\)-grading and are classified as Witt algebras due to their specific structure. In this work, we present the \(\mathbb{Z}\)-graded identities of \(W_1\) based on the techniques seen in \cite{Fideles, Fideles2}. In characteristic 0, these identities were described by Freitas, Koshlukov, and Krasilnikov in \cite{Freitas}, but we offer a perspective introduced by Fideles and Koshlukov (2023). The latter authors achieved similar results through a new approach using the algebra \(U_1\). These results were also extended over fields of positive characteristic, which we address in the following chapters. Chapter \ref{chpt3} is dedicated to the study of these developments over a field of characteristic two. Furthermore, we investigated the independence of these identities. We conclude by obtaining a basis for the \(\mathbb{Z}\)-graded identities of \(W_1\) under the assumption that the ground field is infinite and of characteristic different from two Ver menos