On energy-critival nonlinear Schrödinger systems
Maicon Sartori Hespanha
TESE
Inglês
T/UNICAMP H462o
[Um estudo sobre sistemas não lineares de Schrödinger com energia crítica]
Campinas, SP : [s.n.], 2024.
1 recurso online (132 p.) : il., digital, arquivo PDF.
Orientador: Ademir Pastor Ferreira
Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Resumo: O principal objetivo desta tese é estudar sistemas acoplados de equações de Schrödinger não linear no caso em que o espaço de energia é crítico em relação ao scaling. O estudo é dividido em duas partes. Na primeira estudamos um sistema com não linearidades cúbicas. Nosso principal objetivo é...
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Resumo: O principal objetivo desta tese é estudar sistemas acoplados de equações de Schrödinger não linear no caso em que o espaço de energia é crítico em relação ao scaling. O estudo é dividido em duas partes. Na primeira estudamos um sistema com não linearidades cúbicas. Nosso principal objetivo é mostrar blow-up em tempo finito para soluções cujo o dado inicial é radialmente simétrico. Começamos aplicando o método do ponto fixo para mostrar boa colocação local do problema de Cauchy associado. Em seguida, provamos existência de soluções ground state. Para tal, utilizamos o método de concentração e compacidade para encontrar uma solução para um problema de minimização restrito deduzido a partir de uma desigualdade crítica do tipo Sobolev. Por fim, para obter o resultado de blow-up em tempo finito, utilizamos uma versão modificada do método de convexidade. A segunda parte trata de um sistema com não linearidades gerais com crescimento do tipo quadrático. Aqui o principal objetivo é provar um resultado de scattering e boa colocação global. Iniciamos provando boa colocação local, onde também utilizamos o método do ponto fixo, entretanto, provamos o resultado com o dado inicial no espaço de Sobolev não homogêneo e, em seguida, mostramos um resultado de estabilidade que nos permite trabalhar com o dado inicial no espaço de Sobolev homogêneo. Para provar a existência global, utilizamos o método de concentração-compacidade e rigidez, que consiste em admitir que o resultado é falso e provar a existência de uma solução particular, chamada de solução crítica. Em seguida, provamos que tal solução não pode existir, chegando em uma contradição
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Abstract: The main goal of this thesis is to study coupled systems of nonlinear Schrödinger equations. The study is divided into two parts. In the frst one, we study a system with cubic nonlinearities. Our main objective is to show blow-up in finite time for solutions whose initial data is radially...
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Abstract: The main goal of this thesis is to study coupled systems of nonlinear Schrödinger equations. The study is divided into two parts. In the frst one, we study a system with cubic nonlinearities. Our main objective is to show blow-up in finite time for solutions whose initial data is radially symmetric. We start by applying the fixed point method to show the local well-posedness of the associated Cauchy problem. Next, we prove the existence of ground state solutions. To this end, we use the concentration-compactness method to find a solution of a restricted minimization problem deduced from a critical Sobolev-type inequality. Finally, to obtain the blow-up in finite time result, we use a modified version of the convexity method. The second part of the work deals with a system with general nonlinearities with quadratic growth. Our main goal is to prove a scattering result and global well-posedness. We start by proving local well-posedness, where we use the fixed point method. However, we prove the result with the initial data in the inhomogeneous Sobolev space and then we show a stability result that allows us to work with the initial data in the homogeneous Sobolev space. To show the global existence, we use the method that consists of admitting that the result is false and proving the existence of a particular solution, called the critical solution. Then, we prove that such type of solutions cannot exist, arriving at a contradiction
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Aberto
Ferreira, Ademir Pastor, 1982-
Orientador
Panthee, Mahendra Prasad, 1966-
Avaliador
Mendez Garcia, Argenis Jose, 1986-
Avaliador
Dias, Luiz Gustavo Farah
Avaliador
Salgado, Norman Francisco Noguera
Avaliador
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Maicon Sartori Hespanha
On energy-critival nonlinear Schrödinger systems
Maicon Sartori Hespanha