Resumo: Primeiramente, estudamos as equações de Navier-Stokes incompressíveis não-homogêneas em todo o espaço $\mathbb{R}^n$ com dimensão $n\geq3$. Apresentamos resultados de boa-colocação local e global em um novo framework para fluidos não-homogêneos, mais precisamente, espaços de Besov-Morrey que são espaços de Besov baseados em Morrey. Em comparação com os trabalhos anteriores nos espaços de Sobolev e Besov, nossos resultados fornecem uma classe de dados iniciais maior para a velocidade e densidade, construindo, particularmente, um único fluxo global no tempo sob condições de pequenez em normas de dados iniciais mais fracas. Do ponto de vista técnico, uma vez que as normas de Morrey impedem o uso comum de argumentos do tipo energia e integração por partes, precisamos obter algumas estimativas para as localizações do semigrupo do calor, do comutador e do mapa que preserva volume em nosso contexto. Na segunda parte, consideramos as equações de Euler incompressíveis não-homogêneas em todo o espaço R^n com n ? 3. Obtemos resultados de boa-colocação e blow-up em um novo framework para fluidos não-homogêneos, a saber, espaços de Besov-Herz que são espaços de Besov baseados em Herz, cobrindo particularmente casos críticos da regularidade. Comparando com trabalhos anteriores em espaços de Besov, obtemos resultados que permitem considerar novos dados iniciais para a boa-colocação e, particularmente, para a existência de um fluxo bem definido localmente no tempo. Para isso, precisamos obter estimativas lineares adequadas para alguns modelos de leis de conservação em nosso contexto, tais como equações de transporte e o sistema de Euler linearizado não-homogêneo Ver menos

Abstract: Firstly, we study the inhomogeneous incompressible Navier-Stokes equations in the whole space $\mathbb{R}^n$ with dimension $n\geq3$. We present local and global well-posedness results in a new framework for inhomogeneous fluids, namely Besov-Morrey spaces that are Besov spaces based on Morrey ones. In comparison with the previous works in Sobolev and Besov spaces, our results provide a larger initial-data class for both the velocity and density, constructing particularly a unique global-in-time flow under smallness conditions on weaker initial-data norms. From a technical viewpoint, since the Morrey norms prevent the common use of energy-type and integration by parts arguments, we need to obtain some estimates for the localizations of the heat semigroup, the commutator, and the volume-preserving map in our setting. In the second part, we consider the inhomogeneous incompressible Euler equations in the whole space R^n with n ? 3. We obtain well-posedness and blow-up results in a new framework for inhomogeneous fluids, more precisely Besov-Herz spaces that are Besov spaces based on Herz ones, covering particularly critical cases of the regularity. Comparing with previous works on Besov spaces, we obtain results that allow to consider new initial data for the well-posedness and, particularly, for the existence of a well-defined flow locally in time. For that, we need to obtain suitable linear estimates for some conservation-law models in our setting, such as transport equations and the linearized inhomogeneous Euler system Ver menos