Resumo: Esta tese centra-se na investigação analítica e numérica de um par de equações de transporte bidimensionais não-lineares e não-locais. Uma delas é bem conhecida, a equação quasegeostrófica de superfície. A outra é uma tentativa de generalizar uma lei de conservação unidimensional adicionando uma dimensão espacial, que chamamos uma lei de conservação com velocidade parcialmente não local. No estudo analítico, obtemos a boa colocação da equação quase-geostrófica de superfície inviscída e dessa lei de conservação com velocidade parcialmente não local dentro da estrutura dos espaços Besov-fracos-Morrey modificado e dos espaços de Besov clássico, respectivamente. Por outro lado, para a investigação numérica, empregamos aproximações para os operadores não-locais presentes em cada uma dessas equações de transporte e formulamos o método Lagrangiano-Euleriano 2D totalmente discreto para leis de conservação não local. Portanto, do ponto de vista computacional, fornecemos evidências numéricas para os aspectos teóricos e conduzimos uma investigação numérica sobre os critérios que regem a explosão do tipo de concentração em termos de concentração de massa, atenuação do tipo de regularização, a formação de singularidades e a emergência de gradientes abruptos em soluções para a equação quase-geostrófica de superfície e dessa lei de conservação com velocidade parcialmente não local Ver menos

Abstract: This thesis focuses on the analytical and numerical investigation of a pair of nonlinear and nonlocal two-dimensional transport equations. One of them is well-known, the surface quasi-geostrophic equation. The other is an attempt to generalize a one-dimensional conservation law by adding a spatial dimension, which we call a conservation law with partially nonlocal velocity. In the analytical study, we obtain the well-posedness of the inviscid surface quasi-geostrophic equation and this conservation law with partially nonlocal velocity within the framework of modified Besov-weak-Morrey spaces and classical Besov spaces, respectively. On the other hand, for the numerical investigation, we employ approximations for the nonlocal operators present in each of these transport equations and formulate the 2D fully-discrete Lagrangian-Eulerian method. Therefore, from a computational standpoint, we provide numerical evidence for the theoretical aspects and conduct a numerical investigation into the criteria governing t attenuation of regularization type, the formation of singularities, and the emergence of abrupt gradients in solutions for the surface quasi-geostrophic equation and this conservation law with partially nonlocal velocity Ver menos