Resumo: Nesta tese, nós desenvolvemos e implementamos um melhoramento do método numérico Lagrangiano-Euleriano para resolver uma classe de leis de balanço não-lineares, modelos escalares e sistemas de problemas hiperbólicos com termo de fonte. Nós também executamos um estudo de convergência numérica, via a técnica weak asymptotic analysis, que inclui existência, unicidade e regularidade de soluções de entropia fraca calculadas com o esquema para o problema de valor inicial não-linear correspondente, dentro de uma classe de leis de balanço 1D. Nós desenvolvemos computacionalmente formulações totalmente-discreta e semi-discreta em modelos 1D e 2D (escalares & sistemas) e também melhoramos o conceito das "No-Flow curves'' para uma classe geral de leis de balanço não-lineares. Outra novidade desta tese é a combinação da estrutura Lagrangiana-Euleriana com uma reconstrução polinomial de segundo grau que melhor aproxima a solução ao longo da variável espacial e proporciona melhor resolução para o esquema, quando comparamos com reconstrução de menores grau, enquanto mantém baixa complexidade computacional. De forma vaga, podemos dizer que o método Lagrangiano-Euleriano melhorado pode ser visto como uma espécie de combinação de Godunov-upwinding e diferenças centrais. Uma melhoria significativa em comparação com esquemas Godunov-upwind é o fato de que nenhum tipo de ''Riemann solver'' é necessário, e por isso o cálculo oneroso da linearização das direções características é evitado. De fato, como é típico de diferenças centrais, a matriz Jacobiana das funções de fluxo associadas não é construída. Em particular, nós também melhoramos aproximações da evolução no tempo das "No-Flow curves'' reduzindo a dissipação numérica e fazendo reconstruções não-oscilatórias e de alta ordem redundantes, e por isso preservando a baixa complexidade do algoritmo. Nós apresentamos um conjunto representativo de exemplos numéricos para ilustrar a acurácia e robustez da formulação Lagrangiana-Euleriana proposta para vários problemas hiperbólicos com termo de fonte, com funções de fluxo gerais e condições iniciais descontínuas em 1D e 2D. Além disso, nós também apresentamos experimentos numéricos para avaliar as capacidades de captura de choque do esquema Lagrangiano-Euleriano melhorado resolvendo as principais características para modelos de lei de balanço e problemas hiperbólicos contendo ondas de choque, ondas de rarefação, descontinuidades de contato, formações e interações de ondas não-lineares Ver menos

Abstract: In this thesis, we design and implement an enhanced Lagrangian-Eulerian numerical method for solving a class of nonlinear balance laws, scalar models and systems of hyperbolic problems with source terms. We also perform a numerical convergence study, via the framework of weak asymptotic analysis, which include existence, uniqueness and regularity of entropy-weak solutions computed with the scheme for the corresponding nonlinear initial value problem for a class of 1D balance laws. We developed computational fully-discrete and semi-discrete formulations in 1D and 2D models (scalar and systems) and also improved the concept of "No-Flow curves'' for a general class of nonlinear balance laws. Another novelty of this thesis is the combination of the Lagrangian-Eulerian framework with a second-degree polynomial reconstruction that better approximates the solution along the spatial variable and provide higher resolution for the scheme, when compared with lower degree reconstructions, while keeping low computational complexity. Broadly speaking, the enhanced Lagrangian-Eulerian method can be viewed as a kind of combination of Godunov-upwinding and central differencing. An effective improvement over Godunov-upwind schemes is the fact that no "Riemann solvers'' are needed, and thus the time-consuming calculation of the linearized characteristic directions can be avoided. Indeed, as typical of central differencing, the Jacobian matrix of the associated ?ux functions is not constructed. In particular, we also improved approximations onto the forward tracking of no-flow curves reducing numerical dissipation and making non-oscillatory and high-order reconstructions redundant, and thus preserving a low complexity of the algorithm. We present a representative set of numerical examples to illustrate the accuracy and robustness of the proposed Lagrangian-Eulerian formulation for several 1D and 2D nonlinear hyperbolic problems with a source term with general flux functions and discontinuous initial conditions. In addition, we also provide numerical experiments to evaluate the shock capturing capabilities of the enhanced Lagrangian-Eulerian scheme in solving the main features for balance law models and hyperbolic problems in the presence of shock waves, rarefaction waves, contact discontinuities and nonlinear wave formations and interactions Ver menos