Invariant subspaces of an affine symbol composition operator = Subespaços invariantes de um operador de composição com símbolo afim
Ben-Hur Eidt
TESE
Inglês
T/UNICAMP Ei29i
[Subespaços invariantes de um operador de composição com símbolo afim]
Campinas, SP : [s.n.], 2024.
1 recurso online (74 p.) : il., digital, arquivo PDF.
Orientador: Sahibzada Waleed Noor
Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Resumo: Nesse trabalho nós começaremos apresentando o problema do subespaço invariante e o conceito de operador universal, estabelecendo a conexão entre esses dois tópicos. Ainda, enunciaremos e provaremos alguns resultados clássicos da teoria dos espaços de Hardy, mais especificamente, do espaço de...
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Resumo: Nesse trabalho nós começaremos apresentando o problema do subespaço invariante e o conceito de operador universal, estabelecendo a conexão entre esses dois tópicos. Ainda, enunciaremos e provaremos alguns resultados clássicos da teoria dos espaços de Hardy, mais especificamente, do espaço de Hardy-Hilbert $H^2$. Apresentaremos um maquinário que começa de tópicos considerados clássicos como operadores de composição e fatorização canônica até tópicos mais avançados como a função de contagem de Nevannlina e o espectro de funções interiores. Posteriormente, analisaremos os subespaços invariantes em $H^2$ de um operador de composição (denotado por $C_{\phi_a}$) cujo símbolo que o define é afim. Os subespaços invariantes minimais, que sempre são gerados por uma função $f \in H^2$, estão relacionados a um dos problemas em aberto mais clássicos da teoria de operadores: o problema do subespaço invariante (PSI). Mostraremos ainda que sob determinadas condições envolvendo o comportamento de funções próximo ao ponto $1$ temos respostas positivas ao PSI. Além disso, provaremos que o número de zeros da função $f$ interfere na dimensão desses espaços e iremos propor uma abordagem para unificar dois casos conhecidos de universalidade. Para finalizar, classificaremos totalmente quais espaços modelo são invariantes pelo operador de composição $C_{\phi_a}$. Ainda, seguindo a mesma linha de raciocínio, mostraremos quais espaços de Beurling são invariantes por tal operador de composição; nesse caso obteremos um resultado dicotômico. Conexões desses resultados com o clássico operador de Cesàro e ideias para futuros trabalhos serão mencionadas no final do texto
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Abstract:In this thesis we begin by talking about the invariant subspace problem, universal operators and the connection between this topics. Also, we state and prove some classic results from the theory of Hardy spaces, more specifically, of the Hardy-Hilbert space $H^2$. We present a machinery...
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Abstract:In this thesis we begin by talking about the invariant subspace problem, universal operators and the connection between this topics. Also, we state and prove some classic results from the theory of Hardy spaces, more specifically, of the Hardy-Hilbert space $H^2$. We present a machinery that contains topics considered classic such as composition operators and canonical factorization, but also has more advanced topics such as the Nevannlina counting function and the spectrum of inner functions. Moreover, we analyze the invariant subspaces in $H^2$ of a composition operator (denoted by $C_{\phi_a}$) whose defining symbol is affine. Minimal invariant subspaces, which are always generated by a function $f \in H^2$, are related to one of the most classic open problems in operator theory: \textit{the Invariant Subspace Problem} (ISP). We show that under certain conditions involving the behavior of functions near to the point $1$ we have positive answers to the ISP. Furthermore, we prove that the number of zeros of $f$ and the dimension of these spaces are connected. We propose also an approach to unify two known cases of universal operators. Finally, we classify which model spaces are invariant by the composition operator $C_{\phi_a}$ obtaining a complete characterization in this case. Furthermore, following the same line of reasoning, we tried to understand which Beurling spaces are invariant by such a composition operator; in this case we obtained a dichotomic result. These results are related with a classic operator called the Cesàro operator. Ideas for future works are mentioned in the end
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Aberto
Noor, Sahibzada Waleed, 1984-
Orientador
Severiano, Osmar Rogério Reis, 1990-
Avaliador
Santos, Charles Ferreira dos, 1991-
Avaliador
Sarkar, Jaydeb
Avaliador
Gallardo-Gutiérrrez, Eva Antonia
Avaliador
Invariant subspaces of an affine symbol composition operator = Subespaços invariantes de um operador de composição com símbolo afim
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