Resumo: A morfologia matemática é uma teoria não linear para análise e processamento de imagens baseada em conceitos topológicos e geométricos que pode ser desenvolvida utilizando a teoria de reticulados. A estrutura de reticulados completos é conveniente para estudos teóricos e práticos na morfologia matemática. A morfologia matemática é aplicada a imagens binárias, tons de cinza e imagens multivariadas. Imagens obtidas por operadores morfológicos em imagens coloridas em que o espaço de cores possui uma ordem parcial podem conter cores falsas. As imagens obtidas por operadores morfológicos em imagens coloridas em que o espaço de cores possui uma ordem total, não apresentam cores falsas. Entretanto, apresentam imperfeições que se assemelham a um serrilhado. Essas imperfeições nas imagens aparecem em operadores morfológicos multivariados baseados em uma ordem total e é chamada de irregularidade. Essa tese propõe construir uma medida de irregularidade para morfologia matemática multivariada. Para este propósito define-se o índice de irregularidade global utilizando-se a métrica de Wasserstein e a soma generalizada da distância entre duas imagens pixel a pixel e mostram-se resultados computacionais em imagens coloridas pequenas. Além disso, define-se um índice de irregularidade local devido a impossibilidade computacional de medir a irregularidade para imagens multivariadas reais devido ao alto custo computacional do problema de otimização para obtenção da métrica de Wasserstein. Prova-se que o índice de irregularidade local é um limitante inferior para o índice de irregularidade global e mostram-se resultados computacionais em imagens naturais. Utiliza-se também um método de entropia regularizada como forma de aproximação para a métrica de Wasserstein com o intuito de calcular o índice de irregularidade local com baixa complexidade computacional. Ainda, observações entre as medidas de irregularidade de acordo com o tamanho do elemento estruturante e das janelas locais que são utilizadas para o cálculo do índice de irregularidade local são realizadas. A partir desses resultados, é possível concluir que os índices de irregularidade global e local são medidas satisfatórias para irregularidades provenientes de operadores morfológicos multivariados. Por fim, utilizam-se abordagens morfológicas como a solução do problema do caixeiro viajante e os mapas auto-organizáveis de Kohonen para justificar a dificuldade de se obter uma ordem total que minimize a irregularidade Ver menos

Abstract: Mathematical morphology is a nonlinear theory for analyzing and processing images based on topological and geometric concepts that can be developed using lattice theory. The complete lattice theory is suitable for theoretical and practical studies in mathematical morphology. Mathematical morphology is applied to binary, grayscale, and multivariate images. Images obtained by morphological operators in color images where the color space is endowed with a partial order may contain false colors. The images obtained by morphological operators in color images in which the color space is endowed with a total order do not present false colors. However, they present aliases that resemble jaggies. The aliasing on images appears in multivariate morphological operators based on a total order and is called irregularity. This thesis proposes to build an irregularity measure for multivariate mathematical morphology. For this purpose, the global irregularity index is defined using the Wasserstein metric and the generalized sum of pixel-wise distances of the two images and shows computational results with tiny color images. Furthermore, a local irregularity index was defined because of the computational impossibility of measuring the irregularity for natural multivariate images due to the high computational cost of the optimization problem to obtain the Wasserstein metric. We prove that the local irregularity index is a lower bound for the global irregularity index and show computational results with natural images. Also, the entropic regularized method is used as an approximation for the Wasserstein metric in order to calculate the local irregularity index with low computational complexity. Additionally, remarks between the irregularity measures according to the size of the structuring element and the local windows used to calculate the local irregularity index are given. From these results, it is possible to conclude that the global and local irregularity indices are satisfactory measures for irregularities from multivariate morphological operators. Finally, morphological approaches based on the solution of the traveling salesman problem and Kohonen's self-organizing maps are used to justify the hardness of obtaining a total order that minimizes the irregularity Ver menos