Resumo: Neste trabalho, introduzimos o conceito de grafo de $q$-fatoração de um polinômio de Drinfeld, como uma linguagem combinatória para estudar módulos simples de dimensão finita para uma álgebra de laços quântica sobre uma álgebra de Lie simples $\mathfrak g$. Em particular, focamos nosso estudo em módulos simples primos. Demonstramos a primalidade dos módulos cujos grafos são caminhos unilaterais. Para $\mathfrak{g}$ de tipo $A$, descrevemos condições necessárias e suficientes para que grafos de ordem 3 (o menor caso não-trivial) sejam primos e provamos a primalidade de todos os grafos unilateralmente conexos. Além disso, foram obtidos vários critérios para que um produto tensorial seja um módulo de $\ell$-peso máximo. Utilizando tais critérios, também mostramos que o quadrado tensorial de um módulo simples em tipo $A$ cujo grafo é do tipo árvore é simples Ver menos

Abstract: We introduce the concept of a $q$-factorization graph of a Drinfeld polynomial as a combinatorial tool to study finite-dimensional simple modules for a quantum loop algebra associated to a simple Lie algebra $\mathfrak g$. In particular, we focus our study on prime simple modules. We prove the primality of modules whose graphs are unilateral paths. For $\mathfrak{g}$ of type $A$, we find necessary and sufficient conditions for graphs of order 3 (the smallest non-trivial case) to be prime and prove the primality of all unilaterally connected graphs. In addition, we obtained several criteria for a tensor product to be a highest-$\ell$-weight module. Using these criteria, we also prove that the tensor square of a simple module in type $A$ whose underlying graph is a tree is simple Ver menos