Resumo: Nesta dissertação, estudamos álgebras associativas com identidades polinomiais e alguns dos seus invariantes numéricos, isto é, codimensões, séries de Hilbert, e em especial a dimensão de Gelfand-Kirillov (GK-dimensão). Nosso objetivo é demonstrar que a GK-dimensão da álgebra relativamente livre de posto $m$ na variedade definida pela álgebra de Lie das matrizes $2\times2$ com traço nulo, denotada por $\gkdim F_m(\mathfrak{sl}_2)$, é igual a $3(m-1)$. Iniciamos com definições e resultados básicos de álgebras, álgebras livres, identidades polinomiais, PI-álgebras, etc. Em seguida, apresentamos alguns resultados sobre identidades multilineares, homogêneas e próprias, vendo que é possível simplificarmos algumas identidades. Também estudamos as séries de Hilbert, sequências de codimensões e PI-expoente; e os determinamos na álgebra de Grassmann sobre um corpo de característica $0$. Depois estudamos sobre a GK-dimensão e vimos algumas propriedades desse invariante quando estamos trabalhando com álgebras relativamente livres. Por fim, partindo da forma explícita da série de Hilbert de $F_m(\mathfrak{sl}_2)$ calculamos a $\gkdim F_m(\mathfrak{sl}_2)$ Ver menos

Abstract: In this dissertation, we study associative algebras with polynomial identities and some of their numerical invariants, that is, codimensions, Hilbert series, and in particular, the Gelfand-Kirillov dimension (GK-dimension). Our goal is to demonstrate that the GK-dimension of the relatively free algebra of rank $m$ in the variety defined by Lie algebra of traceless $2\times2$ matrices, denoted by $\gkdim F_m(\mathfrak{sl}_2)$, is equal to $3(m-1)$. We start with definitions and basic results of algebras, free algebras, polynomial identities, PI-algebras, etc. Afterwards, we present some results on multilinear, homogeneous, and proper identities, seeing that it is possible to simplify some identities. We also study the Hilbert series, codimension sequences, and PI-exponent, and we determine them for the Grassmann algebra over a field of characteristic $0$. Later on we study the GK-dimension and some properties of this invariant when working with relatively free algebras. Finally, starting from the explicit form of Hilbert series of $F_m(\mathfrak{sl}_2)$ we calculate $\gkdim F_m(\mathfrak{sl}_2)$ Ver menos