Orientador: Marcelo Esteban Coniglio

Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Filosofia e Ciências Humanas

Resumo: Este trabalho está dividido entre duas grandes áreas: na teoria de multiálgebras, focamos majoritariamente em uma nova definição do que um objeto livremente gerado deveria ser em sua categoria e em como esta categoria é equivalente a outra com álgebras parcialmente ordenadas como objetos;...

Resumo: Este trabalho está dividido entre duas grandes áreas: na teoria de multiálgebras, focamos majoritariamente em uma nova definição do que um objeto livremente gerado deveria ser em sua categoria e em como esta categoria é equivalente a outra com álgebras parcialmente ordenadas como objetos; então usamos semânticas não-determinísticas, especialmente aquela que nomeamos Nmatrizes restritas, nas lógicas paraconsistentes e em alguns sistemas lidando com uma nova apresentação do conceito natural de incompatibilidade, que generaliza o conceito de inconsistência. Em álgebra, nos focaremos nas não-determinísticas, também conhecidas como multiálgebras, cujas operações retornam subconjuntos não vazios de seus universos. Enquanto a categoria de álgebras sobre uma assinatura possui objetos livremente gerados, os quais permitem em certo sentido a extensão única de funções a homomorfismos, a categoria de multiálgebras sobre uma assinatura dada não possui elementos com propriedades comparáveis. Para contornar este problema, estendemos o significado de uma álgebra de fórmulas: se uma multiálgebra generaliza uma álgebra ao ter múltiplos resultados para uma dada operação, uma multiálgebra de fórmulas generaliza uma álgebra de fórmulas ao ter múltiplas possibilidade para a aplicação de um conectivo a fórmulas dadas. Quanto à categoria de multiálgebras propriamente dita, oferecemos uma equivalência entre ela e uma categoria livre de não-determinismo, que alternativamente possui álgebras ordenadas, semelhantes a álgebras de Boole, como objetos. Na parte dedicada à lógica, nossos objetivos são novamente dois: primeiramente, algumas lógicas de inconsistência formal, exempli gratia aquelas da hierarquia de da Costa, não podem ser caracterizadas por Nmatrizes finitas. No que é um desenvolvimento muito natural, uma Nmatriz restrita, ou RNmatriz, restringe aquelas homomorfismos que devem ser considerados quando testamos a validade de uma dedução por uma Nmatriz. Mostramos como esta distinção provê as RNmatrizes finitas com poder expressivo muito superior, suficientente para adequadamente caracterizar os sistemas de da Costa e dar a eles métodos de decisão, tanto baseados em tabelas de verdade quanto em semânticas de tableaux. Em outra direção, generalizamos as lógicas de inconsistência formal a sistemas construídos em torno da noção de incompatibilidade: o Leitmotiv sendo que duas fórmulas incompatíveis simultaneamente verdadeiras trivializam uma dedução, e como um caso especial, uma fórmula é consistente quando é incompatível com sua negação. Mostramos como essa noção estende aquela de inconsistência de maneira não-trivial, apresentando traduções conservativas para muitos dos sistemas inconsistentes mais simples em lógicas de incompatilidade, apresentamos semânticas construídas com RNmatrizes para essas novas lógicas e mostramos que elas não podem ser caracterizadas por métodos mais usuais

Abstract: This work is divided between two main areas: in the theory of multialgebras, we focus mostly on a new definition of what a freely generated object should be in their category, and on how this category is equivalent to another with partially ordered algebras as objects; we then use...

Abstract: This work is divided between two main areas: in the theory of multialgebras, we focus mostly on a new definition of what a freely generated object should be in their category, and on how this category is equivalent to another with partially ordered algebras as objects; we then use nondeterministic semantics, specially those we have named restricted Nmatrices, on paraconsistent logics and some systems dealing with a new presentation of the natural concept of incompatibility, which generalizes inconsistency. In algebra, we will focus on the non-deterministic ones, also known as multialgebras, whose operations return non-empty subsets of their universes. While the category of algebras over a signature has freely generated objects, which in a sense permit for the unique extension of functions to homomorphisms, the category of multialgebras over a given signature does not have elements with comparable properties. To circumvent this problem, we widen our understanding of algebras of formulas: if a multialgebra generalizes an algebra by having multiple results for a given operation, a multialgebra of formulas should generalize an algebra of formulas by having multiple possibilities for applying a connective to given formulas. Concerning the category of multialgebras itself, we offer an equivalence between it and a category avoiding non-determinism altogether, relying instead on ordered Boolean-like algebras as objects. On the part devoted to logic, our goals are again roughly twofold: firstly, some logics of formal inconsistency, exempli gratia those found in da Costa’s hierarchy, cannot be characterized by finite Nmatrices. In what is a very natural development, a restricted Nmatrix (or RNmatrix) restricts those homomorphisms to be taken into consideration when evaluating the validity of a deduction according to an Nmatrix. We show how this distinction gives far greater expressiveness to finite RNmatrices, enough to adequately characterize da Costa’s systems and provide decision methods for those logics, both based on row-branching, row-eliminating truth tables, and tableau semantics. In another direction, we generalize logics of formal inconsistency to new systems built around the notion of incompatibility: the Leitmotiv being that having two incompatible formulas to simultaneously hold trivializes a deduction, and as a special case, a formula is consistent when it is incompatible with its negation. We show how this notion extends that of inconsistency in a non-trivial way, presenting conservative translations for many simple inconsistent systems into logics of incompatibility; we also provide semantics built on RNmatrices for these new logics, and prove that they can not be characterized by more standard methods

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