Resumo: Nesta tese, apresentamos dois estudos relativos a modelos do tipo Boussinesq. Basicamente dividimos o trabalho em duas partes. Na primeira, estabelecemos um tipo de condição não linear sobre o dado inicial, com a finalidade de obter soluções suaves para tempos longos do sistema de Boussinesq periódico tridimensional. Esta condição não linear permite considerar dados iniciais mistos (i.e., velocidades iniciais grandes e temperaturas iniciais pequenas) no espaço de Besov crítico (invariante por escala) maximal, a saber B^{-1}_{\infty,\infty}\times B^{-3}_{\infty,\infty}, associado ao sistema. Também, uma família de dados iniciais é apresentada satisfazendo aquela relação não linear, a qual permite construir soluções suaves (e grandes) para tempos longos. Na segunda parte, provamos um resultado de boa-colocação global com dados iniciais pequenos em espaços de Fourier-Besov-Morrey críticos para o sistema tridimensional de Boussinesq-Coriolis fracionário com estratificação. Aqui incluímos o caso da dissipação fracionária crítica. Além disso, obtemos um resultado similar para o sistema de Navier-Stokes-Coriolis fracionário, o qual é uniforme com respeito ao parâmetro de Coriolis e, em particular, fornece um resultado de boa-colocação para as equações de Navier-Stokes com dissipação fracionária crítica. Ver menos

Abstract: In this thesis, we expose two studies about Boussinesq-type models. Basically, we divide the work in two parts. In the first, we establish a kind of nonlinear condition on the initial data in order to obtain long-time smooth solutions of the periodic tridimensional Boussinesq system. This nonlinear condition allows to consider mixed initial data (i.e., large initial velocity and small initial temperature) in the maximal critical (scaling invariant) Besov space, namely B^{-1}_{\infty,\infty}\times B^{-3}_{\infty,\infty}, associated to the system. Also, examples of initial data satisfying that nonlinear condition are given, which allow to obtain long-time smooth solutions starting from them. In the second part, we prove a global well-posedness result with smallness condition for the tridimensional fractional Boussinesq-Coriolis system with stratification in the context of critical Fourier-Besov-Morrey spaces. Here we include the case of critical dissipation. Moreover, we obtain a similar result for the fractional Navier-Stokes-Coriolis system which is uniform with respect to the Coriolis parameter and, in particular, provides a well-posedness result for the Navier-Stokes equations with critical fractional dissipation. Ver menos