Resumo: Uma coálgebra é uma estrutura algébrica que, de certo modo, dualiza o conceito de álgebra. De modo mais formal, definimos uma coálgebra $C$ como uma tripla $(C, \Delta, \epsilon)$, em que, $C$ é um espaço vetorial sobre um corpo base $\mathbb{K}$, $\Delta$ é a comultiplicação em $C$ e $\epsilon$ a counidade. A partir disso, é possível construir de modo natural uma teoria estrutural para coálgebras, definindo conceitos como morfismos, subcoálgebras, coideais, coálgebras quocientes e tantas outras dualizações do que já foi estabelecido no campo da Teoria de Anéis. Em particular, a Teoria de Coálgebras possibilita a definição de comódulos que, por sua vez, devolve importantes resultados como o Teorema Fundamental das Coálgebras. Partindo do conceito de identidade polinomial para álgebras, visto como elementos de uma álgebra associativa livre $\mathbb{K}\langle X \rangle$, definimos o que são identidades polinomiais para coálgebras, as chamadas coidentidades. Disso já se estabelece uma Teoria de PI-Coálgebras e naturalmente uma vastidão de problemas e perguntas já estabelecidas na Teoria de PI-Álgebras podem ser reformuladas neste novo campo. Unindo estas duas estruturas duais em um mesmo conjunto e com mais algum "esforço", pode-se construir uma estrutura conhecida como Álgebra de Hopf. Neste trabalho, exploramos as propriedades que possuem as coidentidades e estabelecemos uma série de comparações entre a PI-teoria de álgebras e de sua estrutura dual. Não só isso, no âmbito de Álgebras de Hopf, estas duas teorias de identidades polinomiais se unem fornecendo ferramentas para tratar caracterizações de alguns tipos de PI-Álgebras de Hopf Ver menos

Abstract: A coalgebra is an algebraic structure that dualizes the concept of algebra. Formally, we define a coalgebra $C$ as a triple $ (C, \Delta, \epsilon)$, where $C$ is a vector space over a field $\mathbb{K}$, $\Delta$ is the comultiplication in $C$ and $\epsilon$ is the counit. From this, it is possible to construct a structural theory for coalgebras, defining concepts such as morphisms, subcoalgebras, coideal, quotient coalgebras and so many other dualizations of what has already been established in the field of Ring Theory. In particular, the Theory of Coalgebras allows the definition of comodules that, in turn, provides important results such as the Fundamental Theorem of Coalgebras. Starting from the concept of polynomial identity for algebras, seen as elements of the free associative algebra $\mathbb{K} \langle X \rangle $, we define what polynomial identities are for coalgebras, the so-called coidentities. From this, a theory of PI-Coalgebras is already established and naturally a vast number of problems and questions already established in the Theory of PI-Algebras can be reformulated in this new field. Joining these two dual structures in the same set and with some more effort, one can build a structure known as Hopf Algebra. In this work, we explore the properties that coidentities have and establish a series of comparisons between the PI-theory of algebras and their dual structure. Not only that, within the scope of Hopf Algebras, these two theories of polynomial identities come together providing tools to deal with characterizations of some types of Hopf PI-algebras Ver menos