Resumo: O {\emph{modelo dos sapos}} é um sistema de partículas, a tempo discreto, cujos agentes realizam passeios aleatórios simples em um grafo com probabilidade de desaparecimento $(1-p)$ antes de cada salto. Inicialmente, cada vértice do grafo contém um número aleatório de partículas. Aquelas posicionadas na raiz do grafo encontram-se acordadas, as demais adormecidas. Cada vez que uma partícula acordada visita uma partícula adormecida, a última é acordada. Resultados de transição de fase com respeito à sobrevivência e recorrência do modelo são apresentados para $(d_{1},d_{2})$-árvores birregulares. Para o modelo com configuração inicial de uma partícula por vértice, determinamos a correta ordem de magnitude da probabilidade crítica com respeito à sobrevivência do modelo quando $d_{1}$ e $d_{2}$ tendem para infinito. Provamos um novo limitante superior para a probabilidade crítica do modelo dos sapos em $d$-árvores homogêneas, que melhora os resultados previamente conhecidos. Esse limitante superior foi conjecturado em Lebensztayn et al. (\emph{J. Stat. Phys., 119(1-2), 331-345,2005}). Também damos uma fórmula explícita para o limitante superior Ver menos

Abstract: The \emph{frog model} is a discrete time particle system whose agents perform simple random walks on a graph with probability of disappearance $ (1-p) $ before each jump. Initially, each vertex of the graph contains a random number of particles. Those positioned at the root of the graph are awake, the others are sleeping. Each time an awakened particle visits a sleeping particle, the latter particle is awakened. Phase transition results with respect to survival and recurrence of the model are presented for $(d_{1}, d_{2})$-biregular trees. For the model with initial configuration of one particle per vertex, we determine the correct order of magnitude for the critical probability of survival of the model as $ d_{1}$ and $d_{2}$ approaches infinity. We prove a new upper bound for the critical probability of the frog model on $d$-homogeneous trees, which improves the previously known results. This upper bound was conjectured in Lebensztayn et al. (\emph{J. Stat. Phys., 119 (1-2), 331-345, 2005}). We also give an explicit formula for the upper bound Ver menos