Resumo: Neste texto, estudamos o problema de otimização topológica de estruturas tridimensionais, cujo propósito é auxiliar na produção de estruturas com a máxima rigidez, para que possam suportar cargas externas sem sofrer grandes deslocamentos e deformações, mantendo o equilíbrio estático e satisfazendo uma restrição de volume. Aplicamos o método dos elementos finitos para discretizar o domínio no qual a estrutura deve estar contida, optando por utilizar elementos que têm a forma de um prisma retangular reto, com oito nós. A topologia ótima da estrutura é determinada pela melhor distribuição das densidades de material em cada elemento. O problema na forma discreta é um problema de otimização não linear, que resolvemos aplicando um algoritmo de programação linear sequencial. Apresentamos experimentos numéricos, realizados com uma implementação feita em Matlab. Comparamos o desempenho computacional utilizando a fatoração de Cholesky e o método dos gradientes conjugados com diferentes precondicionadores para resolver os sistemas lineares que aparecem no cálculo da função objetivo. Analisamos como o tempo gasto em cada etapa do algoritmo se altera conforme aumentamos o número de elementos finitos ou o raio do filtro espacial, que é um operador com o objetivo de evitar uma instabilidade numérica nas soluções. Também exploramos as simetrias das estruturas, reduzindo o tempo e a memória consumidos na resolução do problema Ver menos

Abstract: In this text, we study the topology optimization of three-dimensional structures, whose purpose is to assist in the production of structures with the maximum stiffness, so that they can bear external loads without suffering large displacements and strains, keeping the static equilibrium and satisfying a volume constraint. We apply the finite element method to discretize the domain in which the structure must be contained, using elements that have the shape of a right rectangular prism, with eight nodes. The optimal topology of the structure is determined by the best distribution of material densities in each element. The problem in the discretized form is a nonlinear optimization problem, that we solve applying a sequential linear programming algorithm. We present numerical experiments, performed with an implementation written in Matlab. We compare the computational performance of the method using the Cholesky factorization and the conjugate gradient method with different preconditioners to solve the linear systems that appear in the computation of the objective function. We analyze how the time spent at each stage of the algorithm changes as we increase the number of finite elements or the filter radius, which is an operator aimed at avoiding numerical instabilities in the solutions. Also, we explore the symmetries of the structures, which allow us to reduce the time and memory consumed to solve the problem Ver menos