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Type: TESE DIGITAL
Degree Level: Doutorado
Title: Métodos de pontos interiores para resolução de problemas de regularização de Tikhonov de grande porte
Title Alternative: Interior point methods for solving large-scale Tikhonov regularization problems
Author: Portilho Junior, Emidio Santos, 1984-
Advisor: Oliveira, Aurelio Ribeiro Leite de, 1962-
Abstract: Resumo: A discretização de problemas inversos lineares geralmente resultam em sistemas cujos valores singulares da matriz dos coeficientes se concentram próximos à origem e decaem gradativamente a zero, o que torna a matriz severamente mal condicionada. Tais sistemas são frequentemente chamados de problemas lineares discretos mal-postos. Vários métodos baseados em decomposição SVD são propostos para resolução de problemas mal-postos, oriundos da discretização de problemas inversos lineares. A solução direta de sistemas de equações lineares mal-postos com dados contaminados por erros geralmente não fornece resultados significativos, porque o erro propagado destrói a solução calculada. Os problemas precisam ser modificados para reduzir sua sensibilidade ao erro nos dados. Em 1963 Andrei Nikolaevich Tikhonov propôs uma formulação geral para problemas mal-postos chamada regularização ou problema de regularização de Tikhonov. Nosso foco está na resolução do problema de regularização de Tikhonov. A dificuldade encontrada pelos métodos baseados em SVD para resolução do problema de regularização de Tikhonov está no custo computacional e numérico envolvido no cálculo da decomposição SVD de uma matriz, em especial no caso de matrizes de grande porte. Nesta tese reescrevemos o problema em questão como um problema de programação quadrática através de uma formulação Primal-Dual com barreira logarítmica. Na busca por maior eficiência, incluímos a direção de centragem e a direção de correção no mesmo método, obtendo um método do tipo Preditor-Corretor. Implementamos um Método de pontos interiores Primal-Dual e Preditor-Corretor combinado a dois precondicionadores, a Fatoração Controlada de Cholesky e o Precondicionador Separador. A eficiência dos métodos propostos é comprovada pelos resultados de experimentos numéricos com problemas de regularização de Tikhonov

Abstract: The discretization of inverse linear problems usually results in systems which the singular values of the matrix accumulate at the origin and decay gradually to zero, which makes the matrix severely ill-conditioned. Such systems are often referred to as linear discrete ill-posed problems. Several methods based on SVD decomposition are proposed for solving problems arising from the discretization of inverse linear problems. The direct solution of linear ill-posed problems equations with error-contaminated data generally does not yield significant results. The propagated error destroys the computed solution. The problems need to be modified to reduce their sensitivity to data error. In 1963 Andrei Nikolaevich Tikhonov proposed a general formulation for ill-posed problems called regularization or Tikhonov regularization problem. Our focus is to solve the Tikhonov regularization problem. The difficulty encountered by SVD based methods for solving the Tikhonov regularization problems is on the computational and numerical cost involved in calculating the SVD decomposition of a matrix, especially in the case of large-scale matrices. In this thesis we rewrite the problem in question as a quadratic programming problem through a Primal-Dual formulation with a logarithmic barrier function. In the search for more efficiency, we include the centering direction and the correction direction in the same method, obtaining a Predictor-Corrector method. We implemented a Primal-Dual and Predictor-Corrector interior point method combined with two preconditioners: Controlled Cholesky Factorization and Spliting Preconditioner. The efficiency of the proposed methods is proved by the results of numerical experiments with Tikhonov regularization problems
Subject: Regularização de Tikhonov
Programação quadrática
Métodos de pontos interiores
Language: Português
Editor: [s.n.]
Citation: PORTILHO JUNIOR, Emidio Santos. Métodos de pontos interiores para resolução de problemas de regularização de Tikhonov de grande porte. 2020. 1 recurso online (83 p.) Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica, Campinas, SP. Disponível em: http://www.repositorio.unicamp.br/handle/REPOSIP/339715. Acesso em: 17 May. 2020.
Date Issue: 2020
Appears in Collections:IMECC - Tese e Dissertação

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