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Type: TESE DIGITAL
Degree Level: Doutorado
Title: Soluções globais para as equações de Navier-Stokes com quimiotaxia e em domínios finos
Title Alternative: Global solutions for Navier-Stokes equations with chemotaxis effects and in thin domains
Author: Alves, Monisse Postigo, 1991-
Advisor: Ferreira, Lucas Catão de Freitas, 1977-
Abstract: Resumo: Nesta tese, analisamos dois problemas em dinâmica dos fluidos. O primeiro problema aborda o sistema de Keller-Segel acoplado com as equações de Navier-Stokes em $\mathbb{R}^{N}$, considerando dados iniciais em espaços de Besov-Morrey homogêneo crítico e a força em espaços de Morrey. Obtemos um resultado de boa-colocação usando um argumento de contração em um espaço crítico dependendo do tempo. A teoria desenvolvida aqui melhora resultados anteriores no sentido que ela permite considerar uma classe maior de dados iniciais, soluções e forças. Depois, mostramos que sob condições adicionais de homogeneidade nos dados iniciais e na força, a solução obtida é auto-similar. Além disso, mostramos que as soluções são assintoticamente estáveis sob pequenas perturbações nos dados iniciais, quando o tempo vai para o infinito. No segundo problema, consideramos as equações de Navier-Stokes no domínio fino $\mathbb{R}^{N-1}\times (0,\varepsilon)$, onde $N\geq2$ e $\varepsilon>0$ é a espessura do domínio. Usamos um espaço $\mathcal{PM}^{l_1,l_2}$ o qual é baseado na transformada de Fourier, contínua em $\mathbb{R}^{N}$, e periódica na última coordenada, e obtemos um resultado de boa-colocação global de soluções brandas para $\varepsilon$ suficientemente pequeno dependendo do tamanho do dado inicial que pode ser arbitrariamente grande no espaço ${\mathcal{PM}^{l_1,l_2}}$. E por último, são dadas condições sob as quais a solução é regular para $t>0$ e assim satisfazendo as equações no sentido clássico. Nossa abordagem permite considerar taxas de controle $\delta$ da espessura $\varepsilon$ próximas de 1, isto é, $\varepsilon\leq C\|u_0\|^{-\frac{1}{\delta}}_{\mathcal{PM}^{l_1,l_2}}$ com $0<\delta<1$. Assim, além de dados sem regularidade do tipo Sobolev ou com normas de Sobolev arbitrariamente grandes, podemos considerar taxas $\delta$ melhores que resultados anteriores

Abstract: In the present work, we analyze two problems in fluid dynamics. The first one concerns with the Keller-Segel system coupled with the Navier-Stokes equations in $\mathbb{R}^{N}$, with the initial data in critical homogeneous Besov-Morrey spaces and the force term in Morrey spaces. We obtain a well-posedness result by using a contraction argument in a time-dependent critical space. This result improves the previous ones in the sense that they allow us to consider a larger class of initial data, solutions and forces. After that, assuming homogeneity conditions on the initial data and forces, we show that the obtained solution is self-similar. Moreover, we also prove that the solutions are asymptotically stable under small pertubations on the initial data, as the time goes to infinity. The second one concerns with the Navier-Stokes equations in the thin domain $\mathbb{R}^{N-1}\times\left(0,\varepsilon\right)$, where $N\geq 2$ and $\varepsilon>0$ is the thickness of the domain. We use a space $\mathcal{PM}^{l_1,l_2}$ which is based on the Fourier transform, continuous in $\mathbb{R}^{N}$ and periodic in the $n$-th coordinate. We obtain a global well-posedness result for $\varepsilon$ sufficiently small depending on the initial data that can be arbitrarily large in the space ${\mathcal{PM}^{l_1,l_2}}$. Finally, we provide conditions for the solution to be regular when $t>0$ and then to satisfy the equations in the classic sense. Our approach allows us to consider control rates $\delta$ of the thickness close to 1, that is, $\varepsilon\leq C\Vert u_{0}\Vert^{-\frac{1}{\delta}}_{\mathcal{PM}^{l_1,l_2}}$, where $0<\delta<1$. Thus, besides covering data without Sobolev regularity or with large Sobolev norms, we are able to consider $\delta$-rates better than previous results
Subject: Boa-colocação global
Navier-Stokes, Equações de
Morrey, Espaços de
Besov, Espaços de
Soluções brandas (Equações diferenciais parciais)
Language: Português
Editor: [s.n.]
Citation: ALVES, Monisse Postigo. Soluções globais para as equações de Navier-Stokes com quimiotaxia e em domínios finos. 2019. 1 recurso online (92 p.). Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica, Campinas, SP.
Date Issue: 2019
Appears in Collections:IMECC - Tese e Dissertação

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