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Type: DISSERTAÇÃO DIGITAL
Degree Level: Mestrado
Title: Ciclos limite para perturbações lineares e não-lineares de equações diferenciais descontínuas no plano
Title Alternative: Limit cycles for linear and non-linear perturbations of discontinuous differential equations in the plane
Author: Oliveira, Thaylon Souza, 1995-
Advisor: Martins, Ricardo Miranda, 1983-
Abstract: Resumo: Nesta dissertação estudamos o problema de determinar limites superiores para o número de órbitas periódicas isoladas que podem bifurcar a partir de um centro usando perturbações lineares e não-lineares por partes em duas zonas. Consideramos sempre as zonas como setores angulares. Para encontrar tais limites superiores, usaremos funções de Poincaré-Pontryagin-Melnikov para várias famílias de equações diferenciais descontínuas. O cálculo do mapa de Poincaré próximo ao ponto crítico é feito com um novo método baseado em uma decomposição adequada de certas 1-formas diferenciais associadas à expressão do sistema em coordenadas polares. Esta decomposição simplifica todas as expressões envolvidas no procedimento. As perturbações utilizadas são polinomiais por partes e a variedade de descontinuidade é importante para determinar os limites superiores. Trabalhamos com perturbações lineares e perturbações polinomiais de grau n. Estudamos o caso em que a variedade de descontinuidade é regular e também o caso em que ela é não-regular (duas semi-retas ligadas em um ponto). Em ambos os casos, o ponto singular do sistema não-perturbado está na variedade de descontinuidade. Provamos que, para perturbações polinomiais de grau $n$, temos no máximo Nn -1 ciclos limite bifurcando até um estudo de ordem N, quando a variedade de descontinuidade é regular. Mostramos também que, para perturbações lineares podem bifurcar no máximo N ciclos limite até um estudo de ordem N e a variedade de descontinuidade não-regular. Em geral, pode-se concluir que a variedade de descontinuidade não-regular aumenta o número de órbitas periódicas em comparação com o caso em que as duas zonas são separadas por uma reta

Abstract: In this dissertation we study the problem of determining upper bounds for the number of isolated periodic orbits that can bifurcate from a center using linear and and nonlinear piecewise perturbations in two zones, where the zones are angular sectors. To find such upper bounds we use Poincaré-Pontryagin-Melnikov¿s functions for several families of discontinuous differential equations. The determination of the Poincaré map near the critical point is done with another method, based on an adequate decomposition of certain differential one-forms. This decomposition simplifies all of the expressions involved in the procedure. The perturbations, which are here piecewise polynomial, and the manifold of discontinuity are important for determining the upper bounds. We work with linear perturbations and polynomial perturbations of degree $n$. With respect to the manifold of discontinuity, we study two cases: the regular (line of discontinuity) and the non-regular one. In both cases, the singular points of the unperturbed system is contained in the manifold of discontinuity. We prove that for polynomial perturbations of degree $n$, no more than $ Nn -1 $ limit cycles appear until a study of order $ N $, when the manifold of discontinuity is regular. We also prove that for linear perturbations they can bifurcate in at most N limit cycles up to a study of degree N and the manifold of discontinuity is non-regular. In general, one can conclude that the presence of a non-regular manifold of discontinuity increases the number of periodic orbits compared to the case where the two zones are separated for a line
Subject: Ciclos limite
Poincaré-Potryagin-Melnikov, Funções de
Campos vetoriais descontínuos
Language: Português
Editor: [s.n.]
Citation: OLIVEIRA, Thaylon Souza. Ciclos limite para perturbações lineares e não-lineares de equações diferenciais descontínuas no plano. 2019. 1 recurso online (100 p.). Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica, Campinas, SP.
Date Issue: 2019
Appears in Collections:IMECC - Tese e Dissertação

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