O problema do empacotamento de esferas no espaço n-dimensional

Abstract

Resumo: Esta dissertação aborda o problema do empacotamento de esferas de mesmo raio no espaço euclidiano $n-$dimensional, que tem como um marco a conjectura de Johannes Kepler (1611) sobre o empacotamento mais denso de esferas no espaço tridimensional. Esta proposição teve contribuições de importantes pesquisadores desde então e só foi provada em sua forma mais geral quase 4 séculos depois. No Capítulo 1 é apresentada uma breve introdução ao conceito de reticulado e suas propriedades, particularmente a densidade de um empacotamento quando os centros das esferas compõem um reticulado. Uma conexão natural entre códigos q-ários e reticulados (Construção A) e empacotamentos associados é descrita no Capítulo 2. O Capítulo 3 é dedicado ao problema do empacotamento de esferas em conjuntos discretos gerais incluindo abordagens históricas, resultados recentes (2017) para as dimensões 8 e 24 e problemas relacionados

Abstract: This dissertation approaches the problem of packing same radius spheres in the n- dimensional Euclidean space, which has the Johannes Kepler conjecture (1611) on the densest 3D-packing as a landmark. This proposition has had the contributions of important researchers since then and was proved in its general form only 4 centuries later. In Chapter 1 it is present a brief introduction to lattices and their properties, particularly packing density when the sphere centers compose a lattice. A natural connection between q-ary codes and lattices (Construction A) and associated sphere packing is depicted in Chapter 2. Chapter 3 is devoted to the sphere packing problem in general discrete sets including historical approaches, recent results (2017) for dimensions 8 and 24 and related problems