Polinômios centrais graduados em álgebras associativas, e mergulhos de álgebras de Jordan

Abstract

Resumo: Neste trabalho apresentamos um estudo sobre identidades polinomiais e polinômios centrais graduados em álgebras associativas, bem como identidades com traço em álgebras não associativas. Mais precisamente estudamos uma propriedade de polinômios centrais graduados análoga à de $M_n(K)$, sobre $K$ um corpo infinito e de característica diferente de dois, estabelecida por Regev e determinamos em quais das graduações elementares com componente neutra comutativa e $n$-uplas distintas satisfazem tal propriedade, nomeando-a de graduação produto cruzado. Além disso consideremos $M_n(R)$, onde $R$ admite uma graduação regular, de modo que $M_n(K)$ seja uma subálgebra homogênea. Fornecemos condições suficientes --- satisfeitas por $M_n(E)$ com a sua graduação trivial --- com o objetivo de provar que $M_n(R)$ herda a propriedade de primalidade de $M_n(K)$. Também provamos que as álgebras $M_{a,b}(E)$ satisfazem essa propriedade para polinômios centrais. Estes resultados foram publicados em \cite{diniz2016primeness}. Estudamos também as álgebras de divisão reais simples de dimensão finita graduadas por um grupo finito $G$, descrevendo uma base finita para o $T_G$-ideal das identidades graduadas e para o $T_G$-espaço dos polinômios centrais graduados para tais álgebras reais. Esses resultados estão no artigo \cite{diniz2017identities} e estão aceitos para publicação. Por fim, considerando $K$ um corpo de característica zero, provamos que uma álgebra de Jordan com traço pode ser mergulhada em uma álgebra de Jordan de um forma bilinear sobre uma álgebra comutativa e associativa $C$ (denotada por $B_n(C)$) se, e somente se, ela satisfaz todas as identidades com traço da álgebra de Jordan $B_n(K)$. Esses resultados são novos, e serão submetidos para publicação

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