Please use this identifier to cite or link to this item: http://repositorio.unicamp.br/jspui/handle/REPOSIP/325400
Type: TESE DIGITAL
Title: Approximation property, reflexivity and complemented subspaces of homogeneous polynomials = Propriedade de aproximação, reflexividade e subespaços complementados em polinômios homogêneos
Title Alternative: Propriedade de aproximação, reflexividade e subespaços complementados em polinômios homogêneos
Author: Pérez León, Sergio Andrés, 1989-
Advisor: Noor, Sahibzada Waleed, 1984-
Abstract: Resumo: A propriedade da aproximação foi introduzida por Grothendieck \cite{GR}. Enflo \cite{ENFLO} deu o primeiro exemplo de um espaço de Banach sem a propriedade da aproximação. O contraexemplo de Enflo é um espaço de Banach constru\'ido artificialmente. O primeiro espaço de Banach sem a propriedade da aproximação definido naturalmente foi dado por Szankowski \cite{SZ}, que provou que o espaço $\mathcal{L}(\ell_{2};\ell_{2} ) $ de todos os operadores lineares e cont\'inuos em $\ell_{2}$ não tem a propriedade da aproximação. Recentemente Dineen e Mujica \cite{JORGE} provaram que se $1< p\leq q<\infty$, então $\mathcal{L}(\ell_{p};\ell_{q} )$ não tem a propriedade da aproximação. Eles tamb\'em provaram que se $1< p<\infty$, então o espaço $\mathcal{P}(^{n}\ell_{p})$ de todos os polinômios $n$-homogêneos cont\'inuos em $\ell_{p}$ não tem a propriedade da aproximação para cada $n\geq p$. Primeiramente, neste trabalho usamos os m\'etodos de Dineen e Mujica \cite{JORGE} e Godefroy e Saphar \cite{THREE} para apresentar alguns exemplos naturais de espaços de Banach de operadores lineares e polinômios homogêneos sem a propriedade da aproximação. \bigskip Emmanuele \cite{EM} e John \cite{KA} mostraram que se $c_{0}$ est\'a imerso no espaço $\mathcal{L}_{K}(E;F)$ de todos os operadores compactos de $E$ em $F$, então $\mathcal{L}_{K}(E;F)$ não \'e complementado no espaço $\mathcal{L}(E;F)$ de todos os operadores lineares e contínuos de $E$ em $F$ para cada $E$ e $F$ espaços de Banach de dimensão infinita. Seja $\mathcal{P}_{K} (^{n}E; F)$ (resp. $\mathcal{P}_{w} (^{n}E; F)$) o subespaço de todos os polinômios $n$- homogêneos contínuos $P\in \mathcal{P}(^{n}E; F)$ que são compactos (resp. fracamente cont\'inuos em conjuntos limitados). Neste trabalho mostramos que se $\mathcal{P}_{K} (^{n}E; F)$ cont\'em uma c\'opia isomorfa de $c_{0}$, então $\mathcal{P}_{K} (^{n}E; F)$ não \'e complementado em $\mathcal{P}(^{n}E; F)$. Da mesma maneira, n\'os mostramos que se $\mathcal{P}_{w} (^{n}E; F)$ cont\'em uma c\'opia isomorfa de $c_{0}$, então $\mathcal{P}_{w}(^{n}E; F)$ não \'e complementado em $\mathcal{P}(^{n}E; F)$. \bigskip Finalmente, nesta tese n\'os provamos que se $E$ e $F$ são espaços de Banach reflexivos e $G$ \'e um subespaço linear fechado de $\mathcal{L}_{K}(E;F)$, então $G$ somente pode ser reflexivo ou não isomorfo a um espaço dual. Esse resultado generaliza \cite[Theorem 2]{FEDER} e d\'a a solução para o problema proposto por Feder \cite[Problem 1]{FED}

Abstract: The approximation property was introduced by Grothendieck \cite{GR}. Enflo \cite{ENFLO} gave the first example of a Banach space without the approximation property. Enflo¿s counterexample is an artificially constructed Banach space. The first naturally defined Banach space without the approximation property was given by Szankowski \cite{SZ}, who proved that the space $\mathcal{L}(\ell_{2};\ell_{2} ) $ of continuous linear operators on $\ell_{2}$ does not have the approximation property. Recently Dineen and Mujica \cite{JORGE} proved that if $1< p\leq q<\infty$, then $\mathcal{L}(\ell_{p};\ell_{q} )$ does not have the approximation property. They also proved that if $1< p<\infty$, then the space $\mathcal{P}(^{n}\ell_{p})$ of continuous $n$-homogeneous polynomials on $\ell_{p}$ does not have the approximation property for every $n\geq p$. Firstly, in this work by using the methods of Dineen and Mujica \cite{JORGE} and Godefroy and Saphar \cite{THREE}, we present many naturally examples of Banach spaces of linear operators and homogeneous polynomials which do not have the approximation property. \bigskip Emmanuele \cite{EM} and John \cite{KA} showed that if $c_{0}$ embeds on the space $\mathcal{L}_{K}(E;F)$ of all compact operators from $E$ into $F$, then $\mathcal{L}_{K}(E;F)$ is not complemented on the space $\mathcal{L}(E;F)$ of all continuous linear operators from $E$ into $F$ for every $E$ and $F$ infinite dimensional Banach spaces. Let $\mathcal{P}_{K} (^{n}E; F)$ (resp. $\mathcal{P}_{w} (^{n}E; F)$) denote the subspace of all continuous $n$- homogeneous polynomials $P\in \mathcal{P}(^{n}E; F)$ which are compact (resp. weakly continuous on bounded sets). In this work we show that if $\mathcal{P}_{K} (^{n}E; F)$ contains an isomorphic copy of $c_{0}$, then $\mathcal{P}_{K} (^{n}E; F)$ is not complemented in $\mathcal{P}(^{n}E; F)$. Likewise, we show that if $\mathcal{P}_{w} (^{n}E; F)$ contains an isomorphic copy of $c_{0}$, then $\mathcal{P}_{w}(^{n}E; F)$ is not complemented in $\mathcal{P}(^{n}E; F)$. \bigskip Finally, in this thesis we prove that if $E$ and $F$ are reflexive Banach spaces and $G$ is a closed linear subspace of $\mathcal{L}_{K}(E;F)$ then $G$ is either reflexive or non-isomorphic to a dual space. This result generalizes \cite[Theorem 2]{FEDER} and gives the solution to a problem posed by Feder \cite[Problem 1]{FED}
Subject: Banach, Espaços de
Teoria da aproximação
Polinômios ortogonais
Funções ortogonais
Editor: [s.n.]
Date Issue: 2017
Appears in Collections:IMECC - Tese e Dissertação

Files in This Item:
File SizeFormat 
Leon_SergioAndresPerez_D.pdf569.29 kBAdobe PDFView/Open


Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.