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Type: TESE DIGITAL
Title: Construções do reticulado E8 via teoria algébrica dos números, álgebra dos quatérnios e álgebra dos octônios
Title Alternative: Constructions of the E8 lattice via algebraic number theory, quaternions algebra and octonions algebra
Author: Dutra, Emerson, 1985-
Advisor: Benedito, Cintya Wink de Oliveira, 1985-
Abstract: Resumo: Reticulados vêm sendo utilizados em diversas subáreas da teoria de informação e códigos corretores de erros. Neste contexto, diferentes associações entre códigos e reticulados bem como diferentes construções de um mesmo reticulado podem ser úteis tanto do ponto de vista teórico quanto prático. O objetivo deste trabalho é utilizar elementos da teoria algébrica dos números, álgebra de quatérnios e octônios para apresentar diferentes construções do reticulado E_8. Este reticulado é o único reticulado par e unimodular na dimensão 8 e apresenta a maior densidade de empacotamento nesta dimensão. As construções apresentadas neste trabalho são obtidas via perturbações do homomorfismo canônico, via ordem maximal em uma álgebra de quatérnios e também via álgebras dos octônios. Apesar de tais construções já serem conhecidas na literatura, apresentamos novas versões rotacionadas do reticulado E_8 obtido através de tais construções. Iremos mostrar que os reticulados obtidos herdam as propriedades do reticulado E_8, tais como: a densidade de empacotamento, a quantidade de vetores de norma mínima e o determinante da matriz de Gram igual a 1. Para o desenvolvimento dos resultados, fizemos uso de ferramentas computacionais como os softwares Mathematica e Magma (versão online)

Abstract: Lattices have been used in various subareas of information theory and error correcting codes. In this context, different associations between codes and lattices as well different constructions of the same Lattices are useful for both, theoretically and practical aspects. The objective of this work is to use elements of algebraic number theory, algebra of quaternions and octonions to present constructions of the E_8 lattice, which is the only unimodular and even lattice in dimension 8 and also provides the highest packing density in this dimension. The constructions presented in this paper were obtained via perturbations of the canonical homomorphism, via maximal order in a quaternion algebra and also via algebras of octonions. Although such constructions are already known in the literature, we present new versions of the lattice E_8 rotated that inherit the properties of the E_8 lattice, such as density packaging, profile distances of minimal vectors and also its determinant. For the development of the results, we used some computational tools such as Mathematica and Magma software (online version)
Subject: Teoria dos reticulados
Homomorfismos (Matemática)
Reticulados algébricos
Quatérnios
Octônios
Editor: [s.n.]
Date Issue: 2016
Appears in Collections:IMECC - Dissertação e Tese

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