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Type: TESE DIGITAL
Title: Limite invíscido de soluções fracas das equações de Navier-Stokes
Title Alternative: Inviscid limit of weak solutions of the Navier-Stokes equations
Author: Pena, José Vitor, 1992-
Advisor: Planas, Gabriela del Valle, 1972-
Abstract: Resumo: As equações de Navier-Stokes modelam o movimento de um fluido Newtoniano (isto é, com viscosidade não nula) incompressível. As equações de Euler descrevem o comportamento de fluidos incompressíveis com viscosidade nula, denominados fluidos ideais. Em que condições ocorre a convergência da solução das equações de Navier-Stokes para a das equações de Euler quando a viscosidade tende a zero? Em primeiro lugar, deve-se deixar claro o tipo de solução das equações de Navier-Stokes a que se refere. O problema de achar soluções clássicas para essas equações no espaço euclideano com dimensão maior ou igual a 3 ainda está em aberto (até a presente data); de fato, é um dos problemas do milênio do Clay Institute. As soluções aqui adotadas são ditas \textit{fracas}, isto é, são soluções de formulações mais fracas das equações de Navier-Stokes. Já para a equações de Euler, existência e unicidade de solução clássica já são conhecidas desde a década de 1960. O limite invíscido de soluções fracas das equações de Navier-Stokes ainda é um problema em aberto. O que existem são critérios para que esse limite ocorra, e esse é o principal assunto desta dissertação. Em 1984, Kato provou que o limite invíscido ocorre no espaço de energia e uniformemente no tempo, se as derivadas primeiras das soluções fracas das equações de Navier-Stokes forem devidamente controladas numa vizinhança próxima à fronteira do domínio, a \textit{camada-limite}, à medida que a viscosidade tende a zero. Em 2007, Kelliher promoveu pequenas alterações na demonstração de Kato para relacionar o limite invíscido ao controle da vorticidade, uma importante grandeza física relacionada à rotação local de fluidos, na camada-limite. Os dois critérios estão detalhadamente demonstrados na dissertação

Abstract: Navier-Stokes equations describe the flow of an incompressible Newtonian (i.e., with non-zero viscosity) fluid, while the Euler equations describe the movement of an ideal (zero viscosity) fluid. An interesting question in this context is: under which conditions does the solution of the Navier-Stokes equations converge to the one of the Euler equations when the viscosity approaches to zero? It is important to establish the type of solutions of Navier-Stokes equations mentioned. The problem of existence and uniqueness of classical solutions for these equations in a Euclidean domain in dimension higher than two remains unsolved up to this date; in fact, it is one of the Clay Institute's Millennium Problems. Solutions here are understood to be, in some sense, \textit{weak}: they are, in fact, solutions of weaker formulations of the Navier-Stokes problem. For the Euler equations, existence and uniqueness of a classical solution are known since the 1960's. The inviscid limit for weak solutions of the Navier-Stokes equations remains an unsolved problem. However, there exist some criterion for the convergence to take place, which is the subject of this dissertation. In 1984, Kato proved that the convergence holds on the Lebesgue space of square-integrable functions (on the Euclidean domain) and uniformly on time if and only if it is possible to control the weak derivatives of first order of the weak solutions of Navier-Stokes equations on a thin neighborhood of the boundary, the \textit{boundary layer}, while viscosity approaches zero. In 2007, Kelliher slightly changed Kato's demonstration to associate the inviscid limit to the control of the vorticity of the fluid on the boundary layer. Both criterion are minutely demonstrated on the dissertation
Subject: Navier-Stokes, Equações de
Euler, Equações de
Camada limite
Equações diferenciais parciais
Editor: [s.n.]
Date Issue: 2016
Appears in Collections:IMECC - Dissertação e Tese

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