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Type: TESE
Title: Aplicação do conceito de analise de multirresolução biortoganal na solução numerica de Equações diferenciais
Author: Castilho, Jose Eduardo
Advisor: Gomes, Sonia Maria, 1952-
Abstract: Resumo: O objeto de estudo deste trabalho é a aplicação do conceito de multirresolução biortogonal na análise numérica de equações diferenciais. Em tal contexto, funções podem ser representadas tanto em um único nível de resolução quanto em multinível, em termos de bases de wavelets. É dada especial atenção a esquemas projetados para splines biortogonais. Neste sentido, analisam-se diferentes esquemas de aproximação de funções. Além da projeção biortogonal usual, são considerados os operadores de interpolação, quase interpolação e projeção discreta, para os quais são apresentadas as estimativas de erro e a análise de uma eficiente implementação em multiescala. A ênfase dada a estes três esquemas de aproximação se deve ao fato de que, ao contrário da projeção biortogonal, eles são definidos em termos de funcionais que são combinações de valores pontuais, o que é útil nas aplicações a problemas não lineares. Portanto, um dos assuntos importantes deste trabalho é a formulação de esquemas de discretização de operadores diferenciais definidos por intermédio de tais funcionais, resultando em esquemas híbridos. Para o caso específico do operador de advecção não linear, é feito um estudo do erro de truncamento, dando uma precisa descrição da interação dos diferentes modos de Fourier. Para problemas de evolução, são analisados esquemas que combinam discretizações da variável espacial em termos das splines biortogonais com esquemas usuais de diferenças finitas na variável temporal. Para modelos lineares, é feita a análise clássica de consistência e estabilidade. É considerado também o modelo não linear da equação de Burger. Neste caso, é adotado o método de colocação associado a splines biortogonais, no domínio espacial, combinado com Crank Nicholson, na variável temporal. A análise da convergência baseia-se no estudo da consistência e na estabilidade do esquema aplicado ao problema linearizado. Também é considerado um esquema adaptativo em multinível na variável temporal, proposto por Bacry, Mallat e Papanicolau [1]. A idéia é evoluir as diferentes componentes da representação em multirresolução da solução numérica usando um método explícito, adaptando o passo de tempo a cada nível de escala. Uma parte importante desta tese é referente ao estudo da estabilidade e consistência deste esquema quando aplicado a um modelo linear. Prova-se que são mantidas as mesmas condições de estabilidade e ordem de consistência válidas no esquema original, não adaptado

Abstract: The object of study in this thesis is the application of the concept of biorthogonal multiresolution analysis to numerical approximation of differential equations. In this direction, different approximation schemes are considered in the context of biorthogonal splines. Besides the usual biorthogonal projection, we shall also deal with interpolation , quasi-interpolation and discrete projection operators. Estimates for the approximation errar are presented, and an efficient implementation in the multilevel setting is discussed. The main motivation in the study of these three schemes is the fact that they are defined by functionals which can be expressed in terms of point evaluations. This praperty is useful in applications to nonlinear problems. Therefore, one of the main subjects of the present work is the formulation of hybrid schemes for discretization of differential operators by means of such functionals. We shall analyze the truncation error for the particular case of nonlinear advection operator, given a precise description of the interaction of different Fourier modes. For evolution problems, we shall consider schemes that combine the discretization of spatial derivatives in terms of biorthogonal splines with usual finite differences in time. The classical analysis of consistency and stability is performed for a linear modeI. For the nonlinear Burger's equation, it is adopted a collocation scheme associated to biortogonal splines, in the spacial domain, and the Crank Nicholson scheme, in the time discretization. The convergence is obtained as a consequence of the consistency of the scheme combined with the stability of the method when applied to the linearized problem. Another important topic in this thesis is the study of stability and consistency of an adaptive multilevel time discretization proposed by Bacry, Mallat and Papanicolau [1]. The main idea is to evolve the components in a multirressolution representation of the numerical solution by means of an explicit algorithm, adapting the time step according to each scale leveI. It is proved that the stability condition and consistency order are the same as in the original non-adapted scheme
Subject: Equações diferenciais - Soluções numéricas
Wavelets (Matemática)
Language: Português
Editor: [s.n.]
Date Issue: 2001
Appears in Collections:IMECC - Dissertação e Tese

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