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Type: TESE DIGITAL
Degree Level: Doutorado
Title: Reticulados algébricos e aplicações a códigos e criptografia
Title Alternative: Algebraic lattices and applications to codes and cryptography
Author: Araujo, Robson Ricardo de, 1991-
Advisor: Costa, Sueli Irene Rodrigues
Abstract: Resumo: Neste trabalho estudamos a aplicação de reticulados algébricos a diferentes contextos. Ao todo, quatro objetivos norteiam esta tese. O primeiro objetivo consiste na construção de reticulados com boa densidade de centro via submódulos de anéis de inteiros de corpos de números algébricos. Nesse contexto, concluímos a construção algébrica do reticulado $D_n$, para qualquer $n$, e estudamos a sua distância produto mínima, bem como a de $\mathbb{Z}^n$. Além disso, calculamos a expressão da forma traço associada a corpos de números abelianos de grau primo ímpar ramificado, a qual está relacionada à densidade de centro de reticulados algébricos obtidos via o mergulho de Minkowski. O segundo objetivo se trata da análise de situações em que reticulados algébricos são bem arredondados. Provamos que em cada dimensão prima ímpar existem infinitos reticulados algébricos não equivalentes entre si que são bem arredondados. O terceiro objetivo é apresentar a aplicabilidade e a atualidade dos reticulados algébricos no contexto da criptografia pós-quântica. Além de resumir os avanços recentes da criptografia via reticulados, propomos a utilização de reticulados algébricos obtidos via o mergulho torcido a este contexto e provamos que a dificuldade de quebra da segurança do sistema proposto está associada à dificuldade de solucionar o problema anel-LWE. Por fim, o quarto objetivo trata do estudo dos reticulados logarítmicos, com especial destaque ao raio de cobertura através das unidades de qualquer corpo ciclotômico. Calculamos uma cota superior para o raio de cobertura de reticulados logarítmicos construídos através desses corpos. Nas abordagens dentro dos quatro propósitos acima fica ressaltado que ferramentas algébricas vêm contribuindo de forma eficaz para a produção de reticulados aplicáveis a diversos contextos em teoria de códigos e criptografia

Abstract: In this work we study applications of algebraic lattices in different contexts. Four goals guide this PhD thesis. The first goal is the construction of lattices with great center density via submodules of the ring of integers of algebraic number fields. In this approach, we obtain the algebraic construction of the lattice $D_n$, for all $n$, and study its minimum product distance, as well as of the lattice $\mathbb{Z}^n$. Besides, we calculate the expression of the trace form associated with abelian number fields of ramified odd prime degree, which is related to the center density of algebraic lattices obtained via the Minkowski embedding. The second goal is the analysis of cases which provide well rounded algebraic lattices. We prove that for each odd prime dimension there exist infinitely many non-equivalent algebraic lattices which are well rounded. The third goal is to present the application of algebraic lattices in the context of the so called post-quantum cryptography. We resume recent advances of lattice cryptography, propose the use of algebraic lattices coming from twisted embedding in this context and prove that the hardness of broking the security of the proposed system is related to the hardness to solve the ring-LWE problem. The fourth goal is the study of logarithmic lattices, specially the analysis of the covering radius of those obtained from units of cyclotomic number fields. We calculate an upper bound of the covering radius of the logarithmic lattices constructed from these fields. In the four objectives described above it is stressed that algebraic tools have good contributions to produce lattices used in coding theory and cryptography
Subject: Reticulados algébricos
Criptografia - Matemática
Teoria dos números algébricos
Language: Português
Editor: [s.n.]
Citation: ARAUJO, Robson Ricardo de. Reticulados algébricos e aplicações a códigos e criptografia. 2018. 1 recurso online (128 p.). Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica, Campinas, SP.
Date Issue: 2018
Appears in Collections:IMECC - Tese e Dissertação

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